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| Aufgabe | Der Graph einer Funktion x->ax²+bx+c
a) geht durch A(0|3) B(3|0)
b) hat den Scheitel S(-3|0) und geht durch P(0|1)
c) hat den Scheitel auf der y Achse und geht durch A(2|-3) und B(-4|0)
d) berührt die x achse in P(2|0) und geht durch den Punkt A(2|-3) und B(-4|0)
Gib die Funktion an. |
Zu a): Das weiß ich nicht, da kann man ja nicht einfach einsetzen oder?
Könnte man die quadratische Ergänzung machen dann einsetzen und dann wieder in diese Form bringen?
Zu b) Der Scheitel ist ja der hächste Punkt dann ist schonmal c-3 .Oder?
Und weiter?
Zu c) Ich weiß es wirklich nicht. Eein Ansatz wäre nett.
d) Siehe oben.
Also ich will hier wirklich nur präzise Hilfe, keine Lösungen.
So Schritt für Schritt.
Bitte leicht erklärt und verständlich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Di 02.06.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, du hast die Punkte doch nicht vollständig angegeben, A(0;??); Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Di 02.06.2009 | | Autor: | Kaktus123 |
Doch hab ich! Aber bei d) gehört der 2 Punkt nicht hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Di 02.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Ich habe es inzwischen korrigiert.
Gruß
Loddar
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Hallo!
> Der Graph einer Funktion x->ax²+bx+c
> a) geht durch [mm]A(0|3) B(3|0)[/mm]
> b) hat den Scheitel [mm]S(-3|0)[/mm]
> und geht durch [mm]P(0|1)[/mm]
> c) hat den Scheitel auf der y Achse und geht durch [mm]A(2|-3)[/mm]
> und [mm]B(-4|0)[/mm]
> d) berührt die x achse in [mm]P(2|0)[/mm] und geht durch den Punkt
> [mm]A(2|-3)[/mm] und [mm]B(-4|0)[/mm]
> Gib die Funktion an.
> Zu a): Das weiß ich nicht, da kann man ja nicht einfach
> einsetzen oder?
> Könnte man die quadratische Ergänzung machen dann
> einsetzen und dann wieder in diese Form bringen?
Quadratische Ergänzung ist hier nicht nötig. Du hast zwei Punkte vorgegeben, durch welche die Funktion gehen soll. Wenn der Graph Funktion f durch einen Punkt [mm] P(x_{0}|y_{0}) [/mm] gehen soll, muss [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] gelten. Bei dir kannst du nun also deine zwei Punkte so verwerten:
A --> f(0) = 3
B --> f(3) = 0
Weil du nur zwei Bedingungen für deine Funktion $f(x) = [mm] a*x^{2}+b*x+c$ [/mm] hast, aber drei Unbekannte a,b,c, empfiehlt es sich hier, einer Unbekannten einfach einen Wert zu geben, zum Beispiel a = 1.
Damit wirst du nun eine eindeutige Lösung für dein Problem finden. Du darfst einfach einer Unbekannten einen Wert geben, weil nach Aufgabenstellung nur eine Funktion gesucht ist, nicht alle, die möglich wären.
D.h. du hast nun $f(x) = [mm] x^{2}+b*x+c$. [/mm] Nun setze
A --> f(0) = 3
B --> f(3) = 0
die beiden Bedingungen ein, ich zeigs an der zweiten:
f(3) = 0
[mm] 3^{2} [/mm] + b*3 + c = 0
Zusammen mit der anderen Bedingung erhältst du ein lineares Gleichungssystem für b und c, was dir die restlichen Lösungen liefert.
> Zu b) Der Scheitel ist ja der hächste Punkt dann ist
> schonmal c-3 .Oder?
> Und weiter?
Der Scheitelpunkt ist entweder der höchste (Parabel nach unten geöffnet) oder niedrigste Punkt (Parabel nach oben geöffnet) der Funktion. Das hilft dir aber so nicht weiter. Es gibt eine so genannte Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion:
$f(x) = [mm] a*(x+b)^{2} [/mm] +c$
Dann ist der Scheitelpunkt S(-b|c).
wenn du dort deinen Scheitelpunkt einsetzt und dann die Klammer ausmultiplizierst, hast du nur noch a als unbekannte. Die bekommst du durch den gegebenen Punkt heraus. (Siehe a))
> Zu c) Ich weiß es wirklich nicht. Eein Ansatz wäre nett.
Bei einer quadratischen Funktion $f(x) = [mm] a*x^{2} [/mm] + b*x+c$ bewirkt anschaulich der Teil b*x, d.h. die Variable b, eine Verschiebung in Richtung der x-Achse, der Teil c bewirkt eine Verschiebung in die y-Achse.
Wenn nun der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegen soll, ist die Verschiebung der Parabel in Richtung der x-Achse = 0, d.h. der Teil b*x = 0 und die Funktion f(x) hat die Form
$f(x) = [mm] a*x^{2} [/mm] + c$
Den Rest bekommst du durch die beiden gegebenen Punkte (siehe a)).
Alternative Lösung: Du nimmst die Scheitelpunktform [mm] a*(x+b)^{2}+c [/mm] mit Scheitelpunkt S(-b|c). Du weißt zwar nicht die y-Koordinate des Scheitelpunkts, aber die x-Koordinate = 0, weil er ja auf der y-Achse liegt. Also ist b = 0 und du erhältst so [mm] a*(x+0)^{2}+c [/mm] = [mm] a*x^{2} [/mm] + c dieselbe Form wie oben.
> d) Siehe oben.
Hier stimmt was nicht. Nach deinen Angaben müsste mit P(2|0) und A(2|-3) die Parabel zu einem x-Wert (nämlich 2) zwei y-Werte haben. Das ist bei einer Funktion nicht möglich. Guck nochmal, ob du dich nicht verschrieben hast.
Viele Grüße, Stefan.
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Bei a) komm ich an dieser stelle jetz nicht mehr weiter:
Also ich hab dann f(3)=0
0=3²+b*3+c
0=9+3b+c
0=9+3b+3
0=12+3b
12+3b=0 -12
3b=12 : 3
b =4
Also das c hab ich so ausgerechnet:
f(0)=3
3=1*0²+b*O+c
3=0+0+c
3=c
Dann hab ich:
x->ax²+4x+3
Aber wie krieg ich jetzt das a und das x raus?
b)
Da hab ich dann
f(x)= a*(x+3)²+0
ax+9a
Aber da hab ich ja auch noch x als Unbekannte!
Ich versteh nicht wie ich weiter vorgehen soll
c) Leider versteh ich das gleiche auch hier nicht.
Ich weiß nicht was mit wie in a) gemeint ist, weil ich die Rechnung dort versteh aber nicht hier.
Also ich kann das nicht übertragen,
d) Ja da habe ich mich geirrt der B Punkt kommt weg.
Aber bis jetzt Danke.
Erklärst echt SUPER
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Hallo!
> Bei a) komm ich an dieser stelle jetz nicht mehr weiter:
> Also ich hab dann f(3)=0
> 0=3²+b*3+c
> 0=9+3b+c
> 0=9+3b+3
> 0=12+3b
> 12+3b=0 -12
> 3b=12 : 3
> b =4
>
> Also das c hab ich so ausgerechnet:
> f(0)=3
> 3=1*0²+b*O+c
> 3=0+0+c
> 3=c
>
> Dann hab ich:
> x->ax²+4x+3
> Aber wie krieg ich jetzt das a und das x raus?
Du bist fertig! a hatten wir am Anfang auf 1 gesetzt (siehe vorheriger Post), d.h.
f(x) = [mm] x^{2}+4x+3.
[/mm]
Du musst x nicht herausbekommen, bei keiner der Aufgaben, denn gesucht ist eine Funktion abhängig von x! Die Lösung ist also die obige Funktion.
> b)
> Da hab ich dann
> f(x)= a*(x+3)²+0
> ax+9a
>
> Aber da hab ich ja auch noch x als Unbekannte!
> Ich versteh nicht wie ich weiter vorgehen soll
Deine Funktion lautet bis jetzt
$ f(x)= [mm] a*(x+3)^{2}+0 [/mm] = [mm] a*(x^{2}+6x+9) [/mm] = [mm] a*x^{2} [/mm] + 6a*x+9a$
Nun weißt du noch, dass die Funktion durch den Punkt P(0|1) gehen soll, also
f(0) = 1
[mm] a*0^{2} [/mm] + 6a*0+9a = 1
9a = 1
...
Und wieder: x musst du nicht herausbekommen, denn gesucht ist eine Funktion abhängig von x!
> c) Leider versteh ich das gleiche auch hier nicht.
> Ich weiß nicht was mit wie in a) gemeint ist, weil ich die
> Rechnung dort versteh aber nicht hier.
> Also ich kann das nicht übertragen,
Wir wissen schon, dass f(x) die Form $f(x) = [mm] a*x^{2} [/mm] + c$ hat (aus welchen der beiden Ansätzen auch immer). Nun haben wir die beiden Punkte A und B gegeben, durch welche f gehen soll, also muss gelten:
A --> f(2) = -3
B --> f(-4) = 0
Und nun einfach wieder in die Funktion einsetzen! Du erhältst ein lineares Gleichungssystem für a und c.
f(2) = -3
[mm] a*2^{2} [/mm] + c = -3
...
> d) Ja da habe ich mich geirrt der B Punkt kommt weg.
Das Signalwort bei dieser Aufgabe ist, dass die Parabel die x-Achse "berührt". Berührt heißt nicht schneiden, sondern dass der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt. D.h., wir wissen jetzt über den Scheitelpunkt, dass seine y-Koordinate 0 ist.
Wenn wir also wieder die Scheitelpunktform bemühen: f(x) = [mm] a*(x+b)^{2}+c [/mm] mit S(-b|c), dann sehen wir dass mit S(x|0) die Funktion f(x) die Form
$f(x) = [mm] a*(x+b)^{2}+c [/mm] = [mm] a*(x+b)^{2}$
[/mm]
hat. Nun kannst du wieder die zwei gegebenen Punkte verwenden, um die vollständige Funktion herauszubekommen:
A --> f(2) = -3
B --> f(-4) = 0
f(2) = -3
[mm] a*(x+2)^{2} [/mm] = -3
f(-4) = 0
[mm] a*(x-4)^{2} [/mm] = 0
Nun musst du versuchen, das Gleichungssystem zu lösen!
Viele Grüße, Stefan.
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