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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Sa 21.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimme ohne Taschenrechner alle x mit 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 2\pi, [/mm] für die gilt:
a) sin x = 1
b) cos x = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
c) tan x = -1
d) cos x = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3}
[/mm]
e) sin x = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
f) cos = - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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Moin,
wie kann ich diese Aufgaben systematisch lösen. Sicher weiß ich, das der Sinus nur bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] den Wert 1 annimmt... aber wie geht das systematisch?
Danke und Gruß
Wolfgang
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Hallo,
> Bestimme ohne Taschenrechner alle x mit 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le 2\pi,[/mm]
> für die gilt:
>
> a) sin x = 1
>
> b) cos x = [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm]
>
> c) tan x = -1
>
> d) cos x = [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm]
>
> e) sin x = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> f) cos = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
>
> Moin,
>
> wie kann ich diese Aufgaben systematisch lösen. Sicher weiß
> ich, das der Sinus nur bei [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] den Wert 1
> annimmt... aber wie geht das systematisch?
>
> Danke und Gruß
> Wolfgang
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathe-online.at/mathint/wfun/i.html#spez
zu c)
[mm] $tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}$
[/mm]
also sin(x)=-cos(x)
Das ist der Fall, wenn man [mm] $x=\bruch{\pi}{4}$ [/mm] um die halbe Periode des tan verschiebt.
Also [mm] $x=\bruch{3}{4}\pi$.
[/mm]
P.S. Und dann noch einmal im gegebenen Intervall bei [mm] $x=\bruch{7}{4}\pi$.
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 21.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin Martin,
das beantwortet nicht ganz meine Frage. Ich fragte nach einem systematischen Vorgehen!
Wo bitte, soll ich denn im angegeben Link nachschauen?
Es geht mir um den einfachsten Weg.
Ich habe einmal eine Tabelle im Buch, in der bestimmten Winkeln, bestimmte Sin- und Cosinuswerte zugeordnet sind.
Wenn ich diese Winkel dann ins Bogenmaß umrechne habe ich die erste Lösung.
Dennoch ist dies aufgrund der Zuhilfenahme der Tabelle schon nicht besonders überzeugend...
Gruß
Wolfgang
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Moin Wolfgang,
> Moin Martin,
>
> das beantwortet nicht ganz meine Frage. Ich fragte nach
> einem systematischen Vorgehen!
Da bin ich etwas überfragt (?). Bei bestimmten Winkeln lassen sich nun mal die Winkelfunktionen zufällig als Wurzelausdrücke darstellen.
> Wo bitte, soll ich denn im angegeben Link nachschauen?
Bitte etwas nach oben scrollen.
> Es geht mir um den einfachsten Weg.
>
> Ich habe einmal eine Tabelle im Buch, in der bestimmten
> Winkeln, bestimmte Sin- und Cosinuswerte zugeordnet sind.
In dem Link hatte ich dir auch nur diese Tabelle zeigen wollen. (Nur, dass dort noch der tan dabei steht.)
> Wenn ich diese Winkel dann ins Bogenmaß umrechne habe ich
> die erste Lösung.
Mit deiner Tabelle kannst Du alle Aufgaben lösen; wenn Du die Tabelle auf den Bereich von 0° bis 360° erweiterst.
> Dennoch ist dies aufgrund der Zuhilfenahme der Tabelle
> schon nicht besonders überzeugend...
>
> Gruß
> Wolfgang
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Sa 21.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
Du meinst vermutlich den Abschnitt: Spezielle Winkel...
***
Zu meiner Idee, nachdem ich die Werte in der Tabelle nachgeschaut habe,
habe ich die dazugehörigen Winkel dann ins Bogenmaß umgerechnet.
Dann habe ich die erste Lösung. In der Regel gibt es ja noch eine zweite Lösung. Auch hier wieder, wie ist das am einfachsten zu berechnen?
sin x = 1 Hier weiß ich, dass es nur eine Lösung x = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gibt
Weitere Lösungen
Muss ich hier jeweils unterscheiden, in welchem Quadranten ich mich befinde oder kann ich einfach plus [mm] k*\pi [/mm] errechnen
Unterscheide ich die Quadranten, geht das dann sofort über eine Bogenmaßformel, oder muss ich vom Winkelmaß über meine Tabelle ins Bogenmaß umrechnen?
cos x
jeweils entsprechend
tan x
jeweils entsprechend
Gruß
Wolfgang
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Hallo,
ich habe mir immer gemerkt
[mm] sin(0^{0})=\bruch{1}{2}\wurzel{0}=0
[/mm]
[mm] sin(30^{0})=\bruch{1}{2}\wurzel{1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] sin(45^{0})=\bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] sin(60^{0})=\bruch{1}{2}\wurzel{3}
[/mm]
[mm] sin(90^{0})=\bruch{1}{2}\wurzel{4}=1
[/mm]
weiterhin benötigst du die Quadrantenbeziehung und die Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Sa 21.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Systematisch gehts nur am Kreis!
und dann muss man zusätzlich wissen, das im gleichseitigen Dreieck Seite 1 die Höhe [mm] 1/2*\wurzel{3} [/mm] ist. Pythagoras, und die Diagonale im Quadrat [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Zusätzlich, sin Werte die im ersten Quadranten auftreten, trten wieder im 2.ten auf, cos im 1. und 4 ten.
und dann immer [mm] 2\pi [/mm] weiter die nächsten.
Gruss leduart
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Hallo Wolfgang,
kennst du die Definition der Winkelfunktionen am
Einheitskreis ?
Für einen Punkt P(x/y) auf dem Einheitskreis mit
dem zugehörigen Winkel [mm] \alpha [/mm] gilt stets:
x= [mm] cos(\alpha)\quad\quad y=sin(\alpha)\quad\quad y/x=tan(\alpha)\quad\quad [/mm] (falls [mm] x\not= [/mm] 0)
Zuerst einmal für spitze Winkel [mm] \alpha:
[/mm]
dann liegt P im ersten Quadrant, also gilt [mm] x\ge [/mm] 0 und [mm] y\ge [/mm] 0
sin, cos und tan werden alle positiv
Für die Winkel 0° und 90° ist dir wohl alles klar,
Spezielle Winkel:
45° ---> zeichne dir ein gleichschenklig-rechtwinkliges
Dreieck, wähle die beiden Katheten a=b=1; c=?
dann kannst du sin,cos,tan von 45° leicht selber ermitteln
60°,30° ---> zeichne dir ein gleichseitiges Dreieck der
Seitenlänge 2 und zeichne eine Höhe ein. Betrachte eines
der entstandenen rechtwinkligen Dreiecke, wende Pythagoras
an!
andere Winkel:
[mm] cos(\alpha) [/mm] ist die x-Koordinate des Kreispunktes
[mm] sin(\alpha) [/mm] ist die y-Koordinate
Wenn du durch irgendeinen Punkt P(x/y) des [mm] (|x|\not= [/mm] 1)
Einheitskreises eine Parallele zur y-Achse legst,
schneidet sie die x-Achse im Punkt [mm] (cos(\alpha),0)
[/mm]
und den Kreis in einem weiteren Punkt mit dem
gleichen cosinus. Beispiel: [mm] \alpha=300° [/mm] gibt
einen Punkt im 4.Quadrant. Die Parallele zur y-
Achse durch diesen Punkt schneidet den Kreis
auch im Punkt zum Winkel 60°.
Also ist cos(300°)=cos(60°)=1/2 (wie du dir
vorher hoffentlich schon klar gemacht hast)
Analoge Überlegungen gibt es zu sin und tan -
ich will sie aber hier nicht ausbreiten.
Vielleicht hast du aber schon gemerkt, wie du
auf diese Weise mit System weiter machen kannst.
LG
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