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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Fr 05.11.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Ein Grundstück in der Form eines Vierecks ABCD hat folgende Abmessungen:
a=AB=35,00m ; b=BC=34,40m ; d=AD=40,70m ; [mm] \alpha=102,4° [/mm] ; [mm] \beta=111,5°
[/mm]
a) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks auf qm genau.
b) Das Grundstück soll von einem Teilungspunkt E (15m von A entfernt) der Strecke AB aus in zwei flächengleiche Parzellen geteilt werden, wobei der zweite Teilungspunkt F auf CD liegen soll. |
Hallo,
ich hab die Aufgabe jetzt zweimal auf unterschiedliche Art und Weise gerechnet und bekomme immer ein offenbar falsches Ergebnis raus. Laut Lösung müsste die Strecke DF 29,1 Meter haben.
Zunächst habe ich den Flächeninhalt des gesamten Grundstücks errechnet.
Dafür habe ich das Viereck diagonal von A nach C geteilt, wobei ich die Strecke mit f=AC bezeichnet habe.
Das rechte Flächenstück ABC soll A2 sein, das Linke ACD A1. Für A2 habe ich mittels trigonometrische Flächenformel errechnet:
[mm] A2=\bruch{a*b*sin\beta}{2}=560,11
[/mm]
Dann die Länge der Diagonalen f=AC:
[mm] f^2=a^2+b^2-2*a*b*cos\beta=>f=57,37
[/mm]
Dann habe ich den Winkel [mm] \alpha2 [/mm] im Dreieck ABC ausgerechnet:
[mm] \alpha2: \bruch{b}{sin\alpha2}=\bruch{f}{sin\beta}=>\bruch{b*sin\beta}{f}=sin\alpha2=>\alpha2=33,91°
[/mm]
[mm] \alpha3 [/mm] im Dreieck ACD rechnete ich mit:
[mm] \alpha-\alpha2=\alpha3=68,49°
[/mm]
So kann ich nun auch A1 im Dreieck ACD ausrechnen:
[mm] A1=\bruch{d*f*sin\alpha3}{2}=1086,17
[/mm]
Ages ist dann natürlich:
[mm] A1+A2=1646m^2
[/mm]
Nun ist meines Erachtens eigentlich nur noch das Dreieck ACD relevant. Dieses teile ich wiederum diagonal vom abzusteckenden Punkt E nach D und nenne die Diagonale g=ED. Die Länge von g errechne ich mit:
[mm] g^2=d^2+AE^2-2*d*AE*cos\alpha=>g=46,30
[/mm]
Das Viereck AECD soll ja den halben Flächeninhalt von ABCD haben, logischerweise also [mm] Ages*0,5=823m^2
[/mm]
Um an die Fläche vom Dreieck ECD zu kommen, rechne ich zunächst die Fläche vom Dreieck AED aus:
[mm] A_{AED}=\bruch{AE*d*sin\alpha}{2}=298,12
[/mm]
Die Fläche vom Dreieck ECD erhalte ich durch:
[mm] \bruch{Ages}{2}-A_{AED}=524,87
[/mm]
Jetzt errechne ich mir den neuen Winkel [mm] \gamma [/mm] im Dreieck ECD über dessen Fläche:
[mm] A_{ECD} =\bruch{g*f*sin\gamma}{2} [/mm] /*2 => [mm] 2*A_{ECD} [/mm] = [mm] g*f*sin\gamma [/mm] /: (g*f) => [mm] \bruch{2* A_{ECD}}{g*f}=sin\gamma=>\gamma=23,28°
[/mm]
Zum Schluss errechne ich noch die Strecke DF:
[mm] DF^2=g^2+f^2-2*g*f*cos\gamma=>DF=23,55m
[/mm]
Laut Lösung sollten es aber 29,1 Meter sein. Was ist nun falsch?
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Fr 05.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Ein Grundstück in der Form eines Vierecks ABCD hat
> folgende Abmessungen:
>
> a=AB=35,00m ; b=BC=34,40m ; d=AD=40,70m ; [mm]\alpha=102,4°[/mm] ;
> [mm]\beta=111,5°[/mm]
>
> a) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks auf qm
> genau.
> b) Das Grundstück soll von einem Teilungspunkt E (15m von
> A entfernt) der Strecke AB aus in zwei flächengleiche
> Parzellen geteilt werden, wobei der zweite Teilungspunkt F
> auf CD liegen soll.
>
> Hallo,
>
> ich hab die Aufgabe jetzt zweimal auf unterschiedliche Art
> und Weise gerechnet und bekomme immer ein offenbar falsches
> Ergebnis raus. Laut Lösung müsste die Strecke DF 29,1
> Meter haben.
>
> Zunächst habe ich den Flächeninhalt des gesamten
> Grundstücks errechnet.
>
> Dafür habe ich das Viereck diagonal von A nach C geteilt,
> wobei ich die Strecke mit f=AC bezeichnet habe.
> Das rechte Flächenstück ABC soll A2 sein, das Linke ACD
> A1. Für A2 habe ich mittels trigonometrische
> Flächenformel errechnet:
>
> [mm]A2=\bruch{a*b*sin\beta}{2}=560,11[/mm]
>
> Dann die Länge der Diagonalen f=AC:
>
> [mm]f^2=a^2+b^2-2*a*b*cos\beta=>f=57,37[/mm]
>
> Dann habe ich den Winkel [mm]\alpha2[/mm] im Dreieck ABC
> ausgerechnet:
>
> [mm]\alpha2: \bruch{b}{sin\alpha2}=\bruch{f}{sin\beta}=>\bruch{b*sin\beta}{f}=sin\alpha2=>\alpha2=33,91°[/mm]
>
> [mm]\alpha3[/mm] im Dreieck ACD rechnete ich mit:
>
> [mm]\alpha-\alpha2=\alpha3=68,49°[/mm]
>
> So kann ich nun auch A1 im Dreieck ACD ausrechnen:
>
> [mm]A1=\bruch{d*f*sin\alpha3}{2}=1086,17[/mm]
>
> Ages ist dann natürlich:
>
> [mm]A1+A2=1646m^2[/mm]
>
> Nun ist meines Erachtens eigentlich nur noch das Dreieck
> ACD relevant. Dieses teile ich wiederum diagonal vom
> abzusteckenden Punkt E nach D und nenne die Diagonale g=ED.
> Die Länge von g errechne ich mit:
>
> [mm]g^2=d^2+AE^2-2*d*AE*cos\alpha=>g=46,30[/mm]
>
> Das Viereck AECD soll ja den halben Flächeninhalt von ABCD
> haben, logischerweise also [mm]Ages*0,5=823m^2[/mm]
>
> Um an die Fläche vom Dreieck ECD zu kommen, rechne ich
> zunächst die Fläche vom Dreieck AED aus:
>
> [mm]A_{AED}=\bruch{AE*d*sin\alpha}{2}=298,12[/mm]
>
> Die Fläche vom Dreieck ECD erhalte ich durch:
Nein. Das wäre der Ansatz für die Fläche EFD.
Gruß Abakus
>
> [mm]\bruch{Ages}{2}-A_{AED}=524,87[/mm]
>
> Jetzt errechne ich mir den neuen Winkel [mm]\gamma[/mm] im Dreieck
> ECD über dessen Fläche:
>
> [mm]A_{ECD} =\bruch{g*f*sin\gamma}{2}[/mm] /*2 => [mm]2*A_{ECD}[/mm] =
> [mm]g*f*sin\gamma[/mm] /: (g*f) => [mm]\bruch{2* A_{ECD}}{g*f}=sin\gamma=>\gamma=23,28°[/mm]
>
> Zum Schluss errechne ich noch die Strecke DF:
>
> [mm]DF^2=g^2+f^2-2*g*f*cos\gamma=>DF=23,55m[/mm]
>
> Laut Lösung sollten es aber 29,1 Meter sein. Was ist nun
> falsch?
>
> Danke :)
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 06.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo Abakus,
entschuldige, ich habe mich vertippt, ich meinte natürlich:
Die Fläche vom Dreieck EFD erhalte ich durch:
[mm] \bruch{Ages}{2}-A_{AED}=524,87
[/mm]
Nicht "ECD". Ich habe versehentlich die Bezeichnung der Seite "c" aus der Skizze abgelesen, statt, dem Punkt F.
Rechnerisch bleibt aber so alles beim Alten und mein Ergebnis ist dennoch falsch. (?)
Beste Grüße
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Hallo
das Viereck AEFD hat [mm] 823,14m^{2}
[/mm]
das Dreieck AED hat [mm] 298,13m^{2}
[/mm]
somit hat das Dreieck EFD [mm] 525,01m^{2}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 06.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo Steffi,
danke für die Antwort.
Das sind ja annähernd die gleichen Ergebnisse, die ich auch habe. Nur warum bekomme ich dann ein falsches Ergebnis für die Strecke DF?
Die Fläche von EFD scheint ja zu stimmen, somit kann ich über die Flächenformel auf den Winkel schließen, da ich ja zwei Seitenlängen vom Dreieck EFD habe.
Mittels Cosinussatz, kann ich ja dann auf die noch fehlende Seite schließen und da kommt bei mir "zu wenig" raus. Siehe meine Rechnung im ersten Beitrag. (?)
lG
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Hallo, schaue dir mal die andere Antwort an, ich habe den Fehler gefunden, Steffi
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Hallo, ich habe deinen Fehler gefunden
das Dreieck EFD hat [mm] 524,87m^{2} [/mm] du hast [mm] \overline{EF}=f=57,37m [/mm] eingesetzt, die Strecke f verbindet doch aber die Punkte A und C
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Sa 06.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo Steffi,
stimmt, da habe ich eine falsche Strecke verwendet.
Werd es noch mal rechnen. Danke :)
lG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, berechne
- Strecke [mm] \overline{DC}=56,88m
[/mm]
- Winkel [mm] \delta=69,8^{0} [/mm] (Winkel am Punkt D vom Viereck)
- Winkel [mm] \delta_1=18,4^{0} [/mm] (Strecke [mm] \overline{ED} [/mm] teilt [mm] \delta)
[/mm]
- Winkel [mm] \delta_2=51,4^{0}
[/mm]
- [mm] 524,87m^{2}=\bruch{1}{2}*\overline{ED}*\overline{DF}*sin(51,4^{0})
[/mm]
Steffi
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