Tschebyscheff Polynom 1 Grades < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Mo 13.06.2011 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Begründen Sie, dass durch T0 (X) = 1, T1 (X) = X, Tn+1 (X) = 2X * Tn (X) - Tn-1 (X) eine
Folge von Polynomen Tn (X) erklärt wird, für die stets Tn (cos a ) = cos (na ) gilt. |
Guten Abend Leute!
Ich habe gerad keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Man könnte das Ding bestimmt via Induktion beweisen,wobei ich denke,dass die Rechnung ziemlich komplex und schwierig wird.
Vor allem steht in der Aufgabenstellung ja,dass man es begründen müsste... gibts hierbei irgendeinen Trick,dass es einfacher zu begründen als zu beweisen wäre?
Mein Anfang ist,dass man weiß,dass cosinus Werte von -1 bis 1 annehmen kann.
Dh. man sieht anhand der Extremalwerte, dass das stimmt. Aber weiter? Oder ist das so überhaupt richtig?
lG dimi727
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Mo 13.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Vorgehen:
Für x eben den cos(a) einsetzen.
Und dann mit den Additionstheoremen bzw. (Trigonometrischen Identitäten) arbeiten. Das kannst du mal für kleine Ordnungen machen und dann versuchen Induktion anzuwenden.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Di 14.06.2011 | | Autor: | dimi727 |
Hmmn also doch rechnerisch beweisen..begründen könnte man das nicht?
Rechnerisch haben wirs probiert, sind aber dann schnell nicht weitergekommen.
Wie sähe denn der Anfang aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Di 14.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Vielleicht hilft das:
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_.28Identit.C3.A4ten.29
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:07 Di 14.06.2011 | | Autor: | dimi727 |
Naja gut ... habs einfach mal mit Induktion gemacht, hoffe,es antwortet mir bis morgen noch einer ^^ :
Gleich der Schritt n->n+1
[mm] T_{n+1} [/mm] = [mm] 2*cos(a)*T_{n}-T_{n-1} [/mm] =I.V= 2*cos(a)*cos(n*a) - [mm] T_{n-1}
[/mm]
(additionstheorem) = cos(a-n*a)+cos(a+n*a) - [mm] T_{n-1} [/mm]
So und ab hier..hm ,also ich weiß,dass die Induktionsvoraussetzung doch bis zu einem bestimmten n gilt.
Dh. ich könnte hier nochmal IV einsetzten und erhalte : cos((n-1)*a) + cos((n+1)*a) - cos((n-1)*a) = cos((n+1)*a)
Wäre auch das richtige Ergebnis.Bin mir halt bei einsetzen der Induktionsvstz. für (n-1) unsicher... shame on me.
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:17 Di 14.06.2011 | | Autor: | meili |
Hallo dimi727,
> Naja gut ... habs einfach mal mit Induktion gemacht,
> hoffe,es antwortet mir bis morgen noch einer ^^ :
>
> Gleich der Schritt n->n+1
>
> [mm]T_{n+1}[/mm] = [mm]2*cos(a)*T_{n}-T_{n-1}[/mm] =I.V= 2*cos(a)*cos(n*a) -
> [mm]T_{n-1}[/mm]
Hier besser
[mm]T_{n+1}(cos(a))[/mm] = [mm]2*cos(a)*T_{n}(cos(a))-T_{n-1}(cos(a)) =I.V= 2*cos(a)*cos(n*a) - cos((n-1)*a)[/mm]
>
> (additionstheorem) = cos(a-n*a)+cos(a+n*a) - [mm]T_{n-1}[/mm]
>
> So und ab hier..hm ,also ich weiß,dass die
> Induktionsvoraussetzung doch bis zu einem bestimmten n
> gilt.
Also gilt sie auch für n-1, da n-1 < n.
>
> Dh. ich könnte hier nochmal IV einsetzten und erhalte :
> cos((n-1)*a) + cos((n+1)*a) - cos((n-1)*a) = cos((n+1)*a)
>
> Wäre auch das richtige Ergebnis.Bin mir halt bei einsetzen
> der Induktionsvstz. für (n-1) unsicher... shame on me.
>
> lG
>
>
Gruß
meili
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