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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Di 09.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
wie löse ich den folgenden Term auf:
[mm] $\bruch{1}{x} \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{x}}$?
[/mm]
was bedeutet [mm] $\wurzel{x}$? [/mm] doch [mm] $x^\bruch{1}{2}$, [/mm] somit $2 [mm] \cdot{} \bruch{1}{2} x^-\bruch{1}{2}$ [/mm] so komm ich aber nicht weiter als Lösung kommt:
[mm] $\bruch{\wurzel{x}}{2x²}$ [/mm] heraus. Wie kommt man darauf? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Di 09.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Erweitere hier mit [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Di 09.10.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo itse!
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> Erweitere hier mit [mm]\wurzel{x}[/mm] ...
$ [mm] \bruch{1}{x} \cdot{} (\bruch{1}{2 \wurzel{x}} \cdot{} \bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{x}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} \cdot{} \bruch{\wurzel{x}}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2x²}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 09.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
hier die Funktion, die differenziert werden soll:
$ y = cos^2x - [mm] \bruch{1}{x} \cdot{} \wurzel{x} [/mm] $
u = $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ u' = $ [mm] -\bruch{1}{x²} [/mm] $
v = $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ v' = $ [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] $
wie gliedert sich der Term: $ cos^2x $ auf? Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar.
$ y' = -2 sin x [mm] \cdot{} [/mm] cos x - [mm] (\bruch{1}{x} \cdot{} \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{x²}) \cdot{} \wurzel{x}) [/mm] $
$ y' = -2 sin x [mm] \cdot{} [/mm] cos x - [mm] (\bruch{\wurzel{x}}{2x²} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{x}}{x²}) [/mm] $
jetzt muss ich die Nenner gleichnamig machen um zu subtrahieren, Hauptnenner: (2x²)(x²)
$ y' = -2 sin x [mm] \cdot{} [/mm] cos x - [mm] (\bruch{\wurzel{x}}{(2x²)(x²)} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{x}}{(x²)(2x²)}) [/mm] $
$ y' = -2 sin x [mm] \cdot{} [/mm] cos x - [mm] (\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{x}}{4x²}) [/mm] $
als Ergebnis kommt: $ -2 sin x [mm] \cdot{} [/mm] cos x + [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2x²} [/mm] $ raus. Wo liegt mein Fehler?
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Hallo,
1. die Ableitung [mm] cos^{2}x [/mm] hast du richtig, du bist ja über die Kettenregel gegangen, äußere mal innere Ableitung, du könntest auch schreiben [mm] (cos(x))^{2}, [/mm] so erkennst du es besser,
2. dir ist ein Fehler unterlaufen, [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2x^{2}}-\bruch{\wurzel{x}}{x^{2}}, [/mm] diese Brüche müssen gleichnamig sein, der Hauptnenner ist [mm] 2x^{2}, [/mm] den zweiten Bruch also mit 2 erweitern [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2x^{2}}-\bruch{2\wurzel{x}}{2x^{2}}=\bruch{\wurzel{x}-2\wurzel{x}}{2x^{2}}=-\bruch{\wurzel{x}}{2x^{2}}, [/mm] jetzt schaffst du es,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mi 10.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
wie komme ich von
$y' [mm] =\bruch{\bruch{1}{2 \cdot{} \wurzel{x}} \cdot{} sin x - \wurzel{x} \cdot{} cos x}{sin²x}$
[/mm]
auf
$y' [mm] =\bruch{sin x - 2x cos x}{2 \wurzel{}x \cdot{} sin²x}$ [/mm] ?
Der Term wegen Doppelbruch wandert in den Nenner, somit bleibt im Zähler: $sin x - [mm] \wurzel{x} \cdot{} [/mm] cos x$, ist [mm] $\wurzel{x} [/mm] = 2x$ ?
Eine weitere Frage:
Wie kommt man von $y' = - [mm] \bruch{cos x}{sin² x}$ [/mm] auf = $- [mm] \bruch{1}{sin x \cdot{} tan x}$ [/mm] ?
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Hallo itse,
> Hallo Zusammen,
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> wie komme ich von
>
> [mm]y' =\bruch{\bruch{1}{2 \cdot{} \wurzel{x}} \cdot{} sin x - \wurzel{x} \cdot{} cos x}{sin²x}[/mm]
>
> auf
>
> [mm]y' =\bruch{sin x - 2x cos x}{2 \wurzel{}x \cdot{} sin²x}[/mm] ?
Das Zauberwort heißt: "Gleichnamig machen"
> Der Term wegen Doppelbruch wandert in den Nenner, somit
> bleibt im Zähler: [mm]sin x - \wurzel{x} \cdot{} cos x[/mm], ist
> [mm]\wurzel{x} = 2x[/mm] ?
Da hast du im Prinzip recht, du musst aber vorher den Ausdruck im Nenner des Doppelbruchs auf einen Bruchstrich schreiben, also gleichnamig machen.
Dazu erweitere den hinteren Term [mm] $\sqrt{x}\cdot{}\cos(x)$ [/mm] mit [mm] $2\sqrt{x}$
[/mm]
Dann kannste das als einen Bruch schreiben und mit dem Nenner des Doppelbruchs verarzten...
Also [mm] $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin(x)-\sqrt{x}\cos(x)}{\sin^2(x)}=\frac{\frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}}-\frac{\red{2\sqrt{x}}\sqrt{x}\cos(x)}{\red{2\sqrt{x}}}}{\sin^2(x)}=\frac{\frac{sin(x)-2x\cos(x)}{2\sqrt{x}}}{\sin^2(x)}=...$
[/mm]
> Eine weitere Frage:
>
> Wie kommt man von [mm]y' = - \bruch{cos x}{sin² x}[/mm] auf = [mm]- \bruch{1}{sin x \cdot{} tan x}[/mm]
> ?
Na, setze doch mal die Definition des Tangens ein: [mm] $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 10.10.2007 | | Autor: | itse |
> > Eine weitere Frage:
> >
> > Wie kommt man von [mm]y' = - \bruch{cos x}{sin² x}[/mm] auf = [mm]- \bruch{1}{sin x \cdot{} tan x}[/mm]
> > ?
>
> Na, setze doch mal die Definition des Tangens ein:
> [mm]\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm]
Von dem Bruch $- [mm] \bruch{cos x}{sin² x}$ [/mm] ist der Kehrtwert $- [mm] \bruch{sin x}{cos² x}$?
[/mm]
wenn ich [mm]\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/mm] einsetze in [mm]- \bruch{1}{sin x \cdot{} \bruch{sin x}{cos x}}[/mm] = [mm]- \bruch{1}{\bruch{sin² x}{cos x}}[/mm] = [mm]- \bruch{cos x}{sin² x}[/mm], nur wie komme ich von [mm]y' = - \bruch{cos x}{sin² x}[/mm] auf das Ergebnis?
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Hi nochmal,
na, dazu musst du halt wissen, wie [mm] $\tan(x)$ [/mm] und [mm] $\cot(x)$ [/mm] definiert sind und zusammenhängen:
[mm] $y'=-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}=-\frac{\cos(x)}{\sin(x)\cdot{}\sin(x)}=-\frac{1}{\sin(x)}\cdot{}\red{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}=-\frac{1}{\sin(x)}\cdot{}\red{\cot(x)}=-\frac{1}{\sin(x)}\cdot{}\frac{1}{\tan(x)}=-\frac{1}{\sin(x)\cdot{}\tan(x)}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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