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Forum "Folgen und Reihen" - Umformung bei Quotientenkrit.
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Umformung bei Quotientenkrit.: Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Mo 30.07.2007
Autor: arena

Hallo zusammen,

Ich hänge gerade über ner Reihe, die man mittels Quotientenkriterium auf Konvergenz überprüfen soll. Ich hab auch die Lösung dazu, kann aber folgende Umformung nicht nachvollziehen:
[mm] (n+1)^{n+1} = (n+1) * (1 + \bruch {1}{n})^n [/mm]

Hab da wohl irgendwann während meiner Schulkarierre nicht ganz aufgepasst :)

        
Bezug
Umformung bei Quotientenkrit.: Aufgabenstellung?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mo 30.07.2007
Autor: Roadrunner

Hallo arena!


Kannst Du mal die vollständige Aufgabenstellung posten bzw. zumindest die zu untersuchende Reihe?

Denn diese Gleichung ist allgemein betrachtet nicht richtig! Da scheint mir doch noch einiges beim betrachteten Quotientenausdruck zu fehlen ...

Es gilt lediglich:   [mm] $(n+1)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)^1*(n+1)^n [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*(n+1)^n$ [/mm]


Oder soll das eher heißen:   [mm] $\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^n}$ [/mm] ??

Dann gilt nämlich gemäß MBPotenzgesetz:   [mm] $(a*b)^n [/mm] \ = \ [mm] a^n*b^n$ [/mm]   sowie  [mm] $\bruch{a^n}{b^n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{a}{b}\right)^n$ [/mm] :

[mm] $\bruch{(n+1)^{n+1}}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*(n+1)^n}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*\bruch{(n+1)^n}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*\left(\bruch{n}{n}+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Umformung bei Quotientenkrit.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mo 30.07.2007
Autor: arena

Die Ausgangsreihe lautet:
[mm] \bruch {2^n}{n^n} [/mm]
Die wird dann mittels Quotientenkriterium umgeformt zu:
[mm] \bruch {2*n^n}{(n+1)^{n+1}} [/mm]
und dann schließlch zu:
[mm] \bruch {2}{n+1} * \bruch {1}{1+ \bruch {1}{n}}^n [/mm]
wobei mir nicht klar ist wie die letzte Umformung von statten geht

Danke


Bezug
                        
Bezug
Umformung bei Quotientenkrit.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Mo 30.07.2007
Autor: leduart

Hallo
Dazu hat roadrunner doch schon die Antwort geschrieben? Was ist och unklar?
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Umformung bei Quotientenkrit.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mo 30.07.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

du hast erhalten:

[mm] \bruch {2\cdot{}n^n}{(n+1)^{n+1}} [/mm]

[mm] =\bruch{2n^{n}}{(n+1)*(n+1)^{n}} [/mm]

[mm] =\bruch{2}{n+1}*\bruch{n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm]

[mm] =\bruch{2}{n+1}*(\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm]

[mm] =\bruch{2}{n+1}*(\bruch{n*\bruch{1}{n}}{(n+1)*\bruch{1}{n}})^{n} [/mm] Erweitern mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm]

[mm] =\bruch{2}{n+1}*(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^{n} [/mm]


Jetzt mach aber noch die Grenzwertbetrachtung!

Steffi


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