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Umkehrfunktion auf Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 So 01.11.2009
Autor: kappen

Aufgabe
[mm] f(x)=\begin{cases} x+4, & x\le-4 \\ -1/x, & -4
Skizzieren Sie f(x) und f(x)^-1 und geben Sie für f(x)^-1 eine Funktionsvorschrift an.

Hi :)

Direkt zur sache: das Skizzieren war nicht so das Problem, allerdings hat die Funktion schonmal Sprünge.. Ist die Funktion somit überhaupt bijektiv und umkehrbar?
Denn injektiv ist f(x), aber auch surjektiv?

Die Umkehrfunktion (bzw die Teile) habe ich berechnet:

x-4
-1/x
[mm] \wurzel{\bruch{1-4x}{x}} [/mm]

Aber auf welchen Intervallen? Bei der Umkehrfunktion tauschen D und W, wäre also z.B. bei x-4 [mm] D=]-\infty,0] [/mm] oder ist es gar [mm] \IR [/mm] (weil D von f(x) [mm] =]\infty,-4]??) [/mm]
Was ist mit [mm] \IW [/mm] der Umkehrfunktion?

Wäre super, wenn jemand etwas Licht ins Dunkle bringen würde :)

Danke & Schöne Grüße

        
Bezug
Umkehrfunktion auf Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 So 01.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

> [mm]f(x)=\begin{cases} x+4, & x\le-4 \\ -1/x, & -4
>  
> Skizzieren Sie f(x) und f(x)^-1 und geben Sie für f(x)^-1
> eine Funktionsvorschrift an.
>  Hi :)
>  
> Direkt zur sache: das Skizzieren war nicht so das Problem,
> allerdings hat die Funktion schonmal Sprünge.. Ist die
> Funktion somit überhaupt bijektiv und umkehrbar?
> Denn injektiv ist f(x), aber auch surjektiv?

Dass die Funktion Sprünge hat, tut der Bijektivität keinen Abbruch, höchstens der Stetigkeit (die hier wirklich an den zwei Übergangsstellen verletzt ist). Aber wenn du richtig auf deine Skizze schaust, wirst du feststellen, dass die Funktion auch surjektiv ist; jeder Wert [mm] \in \IR [/mm] wird genau einmal angenommen.

> Die Umkehrfunktion (bzw die Teile) habe ich berechnet:
>  
> x-4
>  -1/x
>  [mm]\wurzel{\bruch{1-4x}{x}}[/mm]

[ok]

> Aber auf welchen Intervallen?

Also zunächst: Du hast dir doch eine Skizze gemacht, da kannst du doch schon gewisse Schlüsse draus ziehen, oder? Und gewisse Wagnisse machen, was den Definitionsbereich der neuen Teilfunktionen betrifft.

> Bei der Umkehrfunktion
> tauschen D und W, wäre also z.B. bei x-4 [mm]D=]-\infty,0][/mm]
> oder ist es gar [mm]\IR[/mm] (weil D von f(x) [mm]=]\infty,-4]??)[/mm]

Nein, [mm] $]-\infty,0]$ [/mm] ist richtig. Du musst immer den Wertebereich der "alten" Teilfunktionen von f(x) bestimmen, das ist dann gleichzeitig der Definitionsbereich der "neuen" Teilfunktionen von [mm] $f^{-1}(x)$. [/mm]

Dank der Bijektivität tauscht sich nämlich einfach der Wertebereich und Definitionsbereich jeder Teilfunktion aus, wenn du die neuen Intervalle bestimmen willst.

Grüße,
Stefan




Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktion auf Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Di 03.11.2009
Autor: kappen

Besten Dank, sind folgende Bereiche dann richtig?


$ [mm] f(x)=\begin{cases} x-4, & x\le0 \\ -1/x, & x\ge0,25 \\ \wurzel{\bruch{1-4x}{x}}, & 0>x\ge0,25\end{cases} [/mm] $

Danke für die Hilfe

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Bezug
Umkehrfunktion auf Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Di 03.11.2009
Autor: Steffi21

Hallo, 1. und 2. Teilfunktion ist ok, bei der 3. Teilfunktion überprüfe mal die Relationszeichen, die Zahlenwerte sind ok, du schreibst: x soll kleiner 0 sein und größer/gleich 0,25, geht schlecht, viel bleibt ja jetzt nicht, Steffi

Bezug
                                
Bezug
Umkehrfunktion auf Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 Di 03.11.2009
Autor: kappen

omg :D

Aufm Blatt isses richtig rum ;) x soll natürlich größer als 0 und kleiner/gleich 0,25 sein.


Danke

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