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Umkehrfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Sa 06.10.2007
Autor: Kampfkruemel

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die Funktion f umkehrbar ist, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Term der Umkehrufnktion f*.

a) f(x)=2x+1      D(f) = [mm] \IR [/mm]

Hallo zusammen,

woran kann man erkennen, ob eine Funktion umkehrbar ist? Und wie bilde ich eine dazugehörige Umkehrfunktion?

Vielen Dank und Gruß
Sarah
        
Bezug
Umkehrfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Sa 06.10.2007
Autor: rainerS

Hallo Sarah!

> Untersuchen Sie, ob die Funktion f umkehrbar ist, und
> bestimmen Sie gegebenenfalls den Term der Umkehrufnktion
> f*.
>  
> a) f(x)=2x+1      D(f) = [mm]\IR[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> woran kann man erkennen, ob eine Funktion umkehrbar ist?
> Und wie bilde ich eine dazugehörige Umkehrfunktion?

Das geht beides in einem Rutsch ;-)

Du versuchst die Gleichung [mm]y=f(x)[/mm] nach x aufzulösen, also x als Funktion von y darzustellen:

[mm]y=2x+1\quad|-1[/mm]
[mm]y-1 = 2x\quad |:2[/mm]
[mm]\bruch{1}{2} (y-1) = x[/mm] [ok]

Wenn das klappt, hast du die Umkehrfunktion.

Damit das funktioniert, darf es zu jedem y nur ein x geben.

Gegenbeispiel: [mm]g(x)=x^2+1[/mm]. Da ist [mm]g(1)=g(-1)=1[/mm]. Daher ist g(x) nicht umkehrbar auf [mm]\IR[/mm].

Anschaulich entspricht der Umkehrfunktion die Spiegelung an der Geraden x=y.

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Sa 06.10.2007
Autor: Kampfkruemel

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die Funktion f umkehrbar ist, und
bestimmen Sie gegebenenfalls den Term der Umkehrufnktion
f*.

b) f(x) = [mm] \bruch{x}{3} [/mm]      
      y = [mm] \bruch{x}{3} [/mm] -2    |+2
    y+2 = [mm] \bruch{x}{3} |:\bruch{1}{3} [/mm]
   [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (y+2) = x            -> umkehrbar


c) f(x) = 1-x       D(f)= [mm] \IR [/mm]
   y = 1-x        |+x -y
  x = 1-y

d) f(x) = [mm] \bruch{x-3}{5} [/mm]

Danke rainerS!

Könnte das mal bitte jemand kontrollieren? Danke.

b) f(x) = [mm] \bruch{x}{3} [/mm]      
      y = [mm] \bruch{x}{3} [/mm] -2    |+2
    y+2 = [mm] \bruch{x}{3} |:\bruch{1}{3} [/mm]
   [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (y+2) = x            -> umkehrbar

c) f(x) = 1-x       D(f)= [mm] \IR [/mm]
   y = 1-x        |+x -y
  x = 1-y                             -> umkehrbar


Bei d weiss ich nicht wie ich mit dem Bruch umgehen soll?!

Gruß
Sarah

Bezug
                        
Bezug
Umkehrfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Sa 06.10.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

ich hatte mir ehemals angewöhnt, erst die Variablen zu tauschen , dann nach y umstellen:

b) [mm] y=\bruch{x}{3}-2 [/mm] tauschen [mm] x=\bruch{y}{3}-2, [/mm] ergibt [mm] x+2=\bruch{y}{3}, [/mm] jetzt kommt dein Fehler, rechne mal 3, y=3x+6

c) y=-x+1, noch Variablen tauschen

d) [mm] y=\bruch{x-3}{5} [/mm] tauschen [mm] x=\bruch{y-3}{5} [/mm] mal 5 ergibt 5x=y-3, jetzt sollte es kein Problem sein, y= ...

Steffi

Bezug
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