Ungleichung lösen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Geben sie die Lösungsmenge dieser Bruchungleichung an:
[mm] $\left |\frac{3-2x}{1+x}\right |\leq [/mm] 4$ mit $x [mm] \in \mathbb [/mm] R [mm] \backslash \{-1\}$ [/mm] |
Ich weiß leider nicht ob meine Lösungsmenge stimmt. Könnt ihr mal gucken?
[mm] $\mathbb [/mm] L = [mm] \{x \in \mathbb R | x \geq 3 \vee x \leq 3 \}$
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Geben sie die Lösungsmenge dieser Bruchungleichung an:
>
> [mm]\left |\frac{3-2x}{1+x}\right |\leq 4[/mm] mit [mm]x \in \mathbb R \backslash \{-1\}[/mm]
>
>
> Ich weiß leider nicht ob meine Lösungsmenge stimmt.
> Könnt ihr mal gucken?
>
> [mm]\mathbb L = \{x \in \mathbb R | x \geq 3 \vee x \leq 3 \}[/mm]
Hey, dann wäre ja [mm] \mathbb [/mm] L= [mm] \IR. [/mm] Giltdenn die Ungl für x=-2 ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich x=-2 einsetze komm ich auf -7. -7 ist "kleinergleich" 4... Also denke ich schon, dass das gilt...
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Wenn ich x=-2 einsetze komm ich auf -7. -7 ist
> "kleinergleich" 4... Also denke ich schon, dass das gilt...
-7 ???
Da steht ein Betrag drumrum. || ist immer nicht negativ.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Oh shit...
Stimmt. Das hab ich jetzt grad übersehen. Dann stimmt doch was nicht.
Ich hab das ganze so gemacht:
1. Fall:
$|3-2x| [mm] \leq [/mm] 4$ und $|1+x| [mm] \leq [/mm] 4$
$|-2x| [mm] \leq [/mm] 1$ und $|x| [mm] \leq [/mm] 3$
$|x| [mm] \leq \frac{1}{2}$ [/mm] und $|x| [mm] \leq [/mm] 3$
Stimmt das soweit?
2. Fall:
Hier ergibt sich doch dann:
$|x| [mm] \geq \frac{1}{2}$ [/mm] und $|x| [mm] \geq [/mm] 3$
Was ist dann daran falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Warum eine Fallunterscheidung mit $... \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \red{4}$ [/mm] ? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Um die Beträge zu eliminieren, musst Du z.B. unterscheiden in $1+x \ > \ 0$ und $1+x \ < \ 0$ etc.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Und was mach ich dann mit der 4?
|
|
|
| |
|
Hallo, die 4 lassen wir zunächst so stehen, du solltest verstehen, warum Fallunterscheidungen notwendig sind, wird eine Ungleichung mit einem Term multipliziert, der negativ ist, so kehrt sich das Relationszeichen um, jetzt setze mal an der Antwort von Loddar an, finde alle Fälle, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Also, der Nenner muss immer größer 0 sein. Ansonsten darf ich ja nicht teilen.
Wenn wir nun die 4 erstmal stehen lassen, dann sieht das so aus:
1. Fall:
$1+x > 0$
$x>-1$
2. Fall:
$1+x < 0$
$x<-1$
3. Fall:
$1+x = 0$ -> darf nicht sein
Stimmt das so? Wie gehts jetzt weiter? Was ist mit dem Zähler?
|
|
|
| |
|
Hallo, du kannst doch durch negative Zahlen teilen!!! [mm] \bruch{8}{-4}=-2
[/mm]
1. Fall: [mm] 3-2x\ge0 [/mm] und [mm] 1+x\ge0 [/mm] somit [mm] -1\le x\le1,5
[/mm]
2. Fall: 3-2x<0 und 1+x<0 führt zum Widerspruch
3. Fall: [mm] 3-2x\ge0 [/mm] und 1+x<0 somit x<-1
4. Fall: 3-2x<0 und und [mm] 1+x\ge0 [/mm] somit x>1,5
jetzt sind drei Fälle zu betrachten
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Warum wählst du bei Fall 3 "x<-1" und bei Fall 4 "x>1,5"?
Weiter zu betrachten sind dann wohl der 1., 3. und 4. Fall, oder?
Was muss ich da jetzt weiter betrachten? Wie geht das? Ich hab jetzt den Zähler und Nenner gegenüber 0 betrachtet. Was ist aber nun mit der 4?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mi 16.03.2011 | | Autor: | chrisno |
> Warum wählst du bei Fall 3 "x<-1" und bei Fall 4 "x>1,5"?
Da stehen bei jedem Fall zwei Ungleichungen. Forme beide um, so dass beiFall 3 x<... steht und bei Fall 4 x>... steht. Da beide Ungleichungen erfüllt sein müssen, ....
>
> Weiter zu betrachten sind dann wohl der 1., 3. und 4. Fall,
> oder?
Klar, dann Fall 2 gibt es nicht.
>
> Was muss ich da jetzt weiter betrachten? Wie geht das? Ich
> hab jetzt den Zähler und Nenner gegenüber 0 betrachtet.
Nun weißt Du, ob der Bruch eine Ergebnis größer oder kleiner null hat.
Ist das Ergebnis größer als null, kannst Du die Betragsstriche weglassen.
Ist es kleiner als null, musst Du noch ein Minuszeichen vor den Bruch schreiben und kannst danach die Betragsstriche weglassen.
> Was ist aber nun mit der 4?
Sobald die Betragsstriche weg sind, hast Du nun drei Ungleichungen mit der 4. Alle musst Du bis zu x<... oder x<... auflösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 17.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Also, ich hab das jetzt alles selbst durchgerechnet, was gester Steffi21 online gestellt hat.
Meine Fälle sehen jetzt so aus:
1. Fall:
[mm] $-1\leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] 1,5$
2. Fall:
$-1<x>1,5$ -> Widerspruch
3. Fall:
$x<-1$
4. Fall:
x>1,5
Wie geht's da jetzt weiter?
Stimmt das soweit?
Die letzte Antwort (geschrieben von chrisno) zu dieser Aufgabe verstehe ich nicht so wirklich!
Könnt ihr mir helfen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
1. Fall:
ich hoffe, dir ist klar, warum [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le1,5 [/mm] steht, Zähler und Nenner sind positiv, du kannst also schreiben
[mm] \bruch{3-2x}{1+x}\le4
[/mm]
Multiplikation mit (1+x), Relationszeichen kehrt sich nicht um
[mm] 3-2x\le4+4x
[/mm]
[mm] -1\le6x
[/mm]
[mm] x\ge-\bruch{1}{6}
[/mm]
jetzt hast du die Bedingung [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le1,5 [/mm] und [mm] x\ge-\bruch{1}{6} [/mm] somit kommt aus dem 1. Fall in die Lösungsmenge [mm] -\bruch{1}{6}\le [/mm] x [mm] \le1,5 [/mm]
3. Fall:
x<-1
[mm] \bruch{3-2x}{-(1+x)}\le4
[/mm]
durch das minus im Nenner sind Zähler und Nenner wieder positiv, Multiplikation mit -(1+x), Relationszeichen kehrt sich nicht um
[mm] 3-2x\le4*(-1)*(1+x)
[/mm]
[mm] 3-2x\le-4-4x
[/mm]
[mm] 7\le-2x
[/mm]
[mm] -3,5\ge [/mm] x
[mm] x\le-3,5
[/mm]
jetzt überlege dir, welche Zahlen du aus der Bedingung x<-1 und [mm] x\le-3,5 [/mm] in die Lösungsmenge packen kannst
4. Fall:
für dich
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Es geht ohne Fallunterscheidung:
für x [mm] \ne [/mm] -1:
$ [mm] \left |\frac{3-2x}{1+x}\right |\leq [/mm] 4 $ [mm] \gdw $|3-2x|^2 \le 16*|1+x|^2 \gdw $(3-2x)^2 \le 16*(1+x)^2 \gdw [/mm] $0 [mm] \le 12x^2+44x+7$
[/mm]
Jetzt Nullstellen der Parabel $p(x) [mm] =12x^2+44x+7$ [/mm] ausrechnen und man sieht sofort, wo p(x) [mm] \ge [/mm] 0 ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:49 Fr 18.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Gib die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an:
[mm] $\left | \frac{3-2x}{1+x} \right [/mm] | [mm] \leq [/mm] 4$ mit $x [mm] \in \mathbb [/mm] R [mm] \backslash\{-1\}$ [/mm] |
Soweit bin ich schon mal:
Fall 1:
$3-2x [mm] \geq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x [mm] \leq [/mm] 1,5$
und
$1+x>0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x>-1$
Fall 2:
$3-2x<0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x>1,5$
und
$1+x<0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x<-1$
Fall 3:
$3-2x [mm] \geq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x [mm] \leq [/mm] 1,5$
und
$1+x<0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x<-1$
Fall 4:
$3-2x<0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x>1,5$
und
$1+x>0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x>-1$
Wenn man nun das Vorzeichen des Terms innerhalb der Betragsstriche bestimmt und danach den Betrag auflöst kommt man zu folgenden Vorzeichen bzw. Ergebnis:
Fall 1: Vorzeichen +
Fall 2: Hier gibt es einen Widerspruch!
Fall 3: Vorzeichen +
Fall 4: Vorzeichen +
Soweit sollte doch alles richtig sein, oder? Wie komm ich nun aber auf meine Lösungsmenge? Könnt ihr mir helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Fr 18.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Sorry, aber ich weiß echt nicht was da jetzt falsch sein soll beim ersten Fall hab ich das Vorzeichen falsch gehabt. Bei den anderen weiß ich's aber nicht.
Fall 1:
$3-2x [mm] \geq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x [mm] \leq [/mm] 1,5$ -> hier war's falsch weil falsches Ungleichheitszeichen.
und
$1+x > 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x > -1$ -> Warum isses hier falsch?
Fall 2:
$3-2x < 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x > 1,5$
und
$1+x < 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x < -1$ -> Warum isses hier falsch? Etwa wegen dem fehlenden [mm] $\leq$ [/mm] bzw. [mm] $\geq$?
[/mm]
Fall 3:
$3-2x [mm] \geq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x [mm] \leq [/mm] 1,5$
und
$1+x < 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x < -1$
Fall 4:
$3-2x < 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x > 1,5$
und
$1+x > 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
$x > -1$
Wenn man nun das Vorzeichen des Terms innerhalb der Betragsstriche bestimmt und danach den Betrag auflöst kommt man zu folgenden Vorzeichen bzw. Ergebnis:
Fall 1: Vorzeichen +
Fall 2: Hier gibt es einen Widerspruch!
Fall 3: Vorzeichen +
Fall 4: Vorzeichen +
Sorry, aber ich weiß echt nicht wie du hier dann auf - + - + kommst... Erstens: der zweite Fall ist ein Widerspruch und zweitens beim Betrag auflösen wird bei einem Term der kleiner 0 ist und innerhalb eines Betrages steht eine -1 vorn ran multipliziert und die Betragsstriche weggelassen was zur Folge hat das Fall 3 und 4 positiv werden und Fall 1 sowieso positiv bleibt...
|
|
|
| |
|
Hallo,
sorry erstmal, ich habe mich mehrmals vertan bei der Antwort,
weil ich zu sehr konzentriert war dich auf deinen Doppelpost hinzuweisen...
> Fall 1:
>
> [mm]3-2x \geq 0 \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]x \leq 1,5[/mm]
>
> und
>
> [mm]1+x > 0 \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]x > -1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Fall 2:
>
> [mm]3-2x < 0 \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]x > 1,5[/mm]
>
> und
>
> [mm]1+x < 0 \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]x < -1[/mm]
> Fall 3:
>
> [mm]3-2x \geq 0 \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]x \leq 1,5[/mm]
>
> und
>
> [mm]1+x < 0 \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]x < -1[/mm]
> Fall 4:
>
> [mm]3-2x < 0 \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]x > 1,5[/mm]
>
> und
>
> [mm]1+x > 0 \Leftrightarrow[/mm]
> [mm]x > -1[/mm]
> Wenn man nun das Vorzeichen des Terms innerhalb der
> Betragsstriche bestimmt und danach den Betrag auflöst
> kommt man zu folgenden Vorzeichen bzw. Ergebnis:
>
> Fall 1: Vorzeichen +
> Fall 2: Hier gibt es einen Widerspruch!
> Fall 3: Vorzeichen +
> Fall 4: Vorzeichen +
Also, die richtige Vorzeichenreihenfolge ist + / + / - / -
Damit keine Missverständnisse auftreten: Mit "Vorzeichen" meine ich das, was nach Auflösen des Betrags vor den Bruch geschrieben werden muss.
Ein Bruch wird negativ, wenn entweder Nenner oder Zähler negativ ist.
Ein Bruch wird positiv, wenn Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben.
Du hast völlig recht, dass Fall 2 ein Widerspruch ist, also keinen Beitrag zur Lösungsmenge liefert. Trotzdem wäre sein Vorzeichen +.
---
Also hast du noch Fall 1,3 und 4 zu bearbeiten. Du musst nun den Betrag entsprechend auflösen und die Gleichung lösen.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 18.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Also hast du noch Fall 1,3 und 4 zu bearbeiten. Du musst nun den Betrag entsprechend auflösen und die Gleichung lösen."
Fall 1:
Ich setze nun z.B. +0,5 in den Term ein. Als Ergebnis erhalte ich dann [mm] $\left | +\frac{4}{3} \right [/mm] | = [mm] +\frac{4}{3}$
[/mm]
Fall 3:
Ich setze nun z.B. -2 in den Term ein. Als Ergebnis erhalte ich dann [mm] $\left | -7 \right [/mm] | = +7$
Fall 4:
Ich setze nun z.B. +3 in den Term ein. Als Ergebnis erhalte ich dann [mm] $\left | -\frac{3}{4} \right [/mm] | = [mm] +\frac{3}{4}$
[/mm]
So, nun hab ich den Betrag aufgelöst und nun drei Vorzeichen für die 3 Fälle erhalten. Ich komme aber leider nicht auf die Vorzeichen die du herausgefunden hast. Du schreibst es soll +, - und - sein. Bei mir ist es aber +, +, und +... Was mache ich falsch?
Was verstehst du nun unter "...und die Gleichung lösen."?
Wie muss ich da jetzt vorgehen?
Ich stell mir gerade das jetzt so vor: Ich muss jetzt quasi aus den drei Vorzeichen der drei verschiedenen Fälle ein "gesamt" Vorzeichen bilden. Ist das richtig? Aber: Wie löse ich dann die Gleichung?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Zitat: "Also hast du noch Fall 1,3 und 4 zu bearbeiten. Du
> musst nun den Betrag entsprechend auflösen und die
> Gleichung lösen."
>
> Fall 1:
>
> Ich setze nun z.B. +0,5 in den Term ein. Als Ergebnis
> erhalte ich dann [mm]\left | +\frac{4}{3} \right | = +\frac{4}{3}[/mm]
>
>
>
> Fall 3:
>
> Ich setze nun z.B. -2 in den Term ein. Als Ergebnis erhalte
> ich dann [mm]\left | -7 \right | = +7[/mm]
>
>
>
> Fall 4:
>
> Ich setze nun z.B. +3 in den Term ein. Als Ergebnis erhalte
> ich dann [mm]\left | -\frac{3}{4} \right | = +\frac{3}{4}[/mm]
>
>
>
> So, nun hab ich den Betrag aufgelöst und nun drei
> Vorzeichen für die 3 Fälle erhalten. Ich komme aber
> leider nicht auf die Vorzeichen die du herausgefunden hast.
> Du schreibst es soll +, - und - sein. Bei mir ist es aber
> +, +, und +... Was mache ich falsch?
Du machst nichts falsch!
Ich meine mit meinen Vorzeichen folgendes:
Fall 4: |-3/4| = -(-3/4) = +3/4
Es muss also ein Minus vor den Term im Betrag gesetzt werden, damit es stimmt.
> Was verstehst du nun unter "...und die Gleichung lösen."?
Jeder Fall muss einzeln betrachtet werden. Ich mache mal Fall 1 vor:
----
Im Fall 1 ist $3-2x [mm] \ge [/mm] 0$ und $1+x > 0$.
(D.h. [mm] $\frac{3}{2} \ge [/mm] x > -1$)
Dann ist [mm] $\red{+}\frac{3-2x}{1+x} [/mm] = [mm] \left|\frac{3-2x}{1+x}\right| \le [/mm] 4$ (um das rote Plus ging es mir übrigens bei den Vorzeichen).
[mm] $\Rightarrow [/mm] 3-2x [mm] \le [/mm] (1+x)*4$
[mm] $\Rightarrow -\frac{1}{6} \le [/mm] x$.
Da die Einschränkung für x lautete: [mm] $\frac{3}{2} \ge [/mm] x > -1$, folgt nun [mm] $L_1 [/mm] = [mm] \{x\in \IR:\frac{3}{2} \ge x \ge -\frac{1}{6}\}$.
[/mm]
Das ist die Lösungsmenge für den ersten Fall.
----
Nun du!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Fr 18.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Fall 3:
Einschränkung: $-1>x [mm] \leq [/mm] 1,5$
[mm] $\left | \frac{3-2x}{1+x} \right [/mm] | = [mm] -\frac{3-2x}{1+x} \leq [/mm] 4$
[mm] $\Rightarrow [/mm] -(-3-2x) [mm] \leq [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] (1+x) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \geq [/mm] 3,5$
[mm] $\mathbb L_3 [/mm] = [mm] \{x \in \mathbb R | ... \}$
[/mm]
In der Lösungsmenge des Fall 3 hab ich leider noch 3 Punkte setzen müssen. Was ich bei deinem letzten Vorschlag leider noch nicht verstanden habe, ist, warum du auf die Idee gekommen bist das -1 in der "Einschränkung" des Falls 1 mit dem errechneten [mm] $-\frac{1}{6}$ [/mm] zu ersetzen. Was muss ich nun hier im Fall 3 ersetzen und vor allem WARUM?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Fall 3:
>
> Einschränkung: [mm]-1>x \leq 1,5[/mm]
Genau.
Die stärkere Bedingung ist $x < -1$, deswegen zählt die.
> [mm]\left | \frac{3-2x}{1+x} \right | = -\frac{3-2x}{1+x} \leq 4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -(-3-2x) \leq 4 \cdot (1+x) \Leftrightarrow x \geq 3,5[/mm]
Hier hast du dich beim Umformen vertan. Bedenke, dass $1+x < 0$, und damit muss beim Multiplizieren mit (1+x) das Relationszeichen " [mm] \le [/mm] " zu " [mm] \ge [/mm] " werden.
Die richtige Lösung ist $x [mm] \le \frac{-7}{2}$
[/mm]
> [mm]\mathbb L_3 = \{x \in \mathbb R | ... \}[/mm]
>
>
> In der Lösungsmenge des Fall 3 hab ich leider noch 3
> Punkte setzen müssen. Was ich bei deinem letzten Vorschlag
> leider noch nicht verstanden habe, ist, warum du auf die
> Idee gekommen bist das -1 in der "Einschränkung" des Falls
> 1 mit dem errechneten [mm]-\frac{1}{6}[/mm] zu ersetzen. Was muss
> ich nun hier im Fall 3 ersetzen und vor allem WARUM?
Du beginnst einen Fall mit einer Einschränkung (s.o. $x < -1$ ). Am Ende der Gleichungsumformerei erhältst du eine gewisse Lösungsmenge für x.
Du musst dann den Schnitt dieser beiden Mengen bilden, d.h. Lösung sind nur die x, die sowohl die Falleinschränkung zu Beginn erfüllen als auch in der Lösungsmenge sind.
Wir haben als Falleinschränkung $x < -1$.
Wir haben als Lösung $x [mm] \le -\frac{7}{2}$.
[/mm]
Die stärkere Forderung ist $x [mm] \le -\frac{7}{2}$. [/mm] (Denn nur für diese x sind beide Ungleichungen wahr).
Also [mm] $L_3 [/mm] = [mm] \{x\in \IR: x \le -\frac{7}{2}\}$
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Du beginnst einen Fall mit einer Einschränkung (s.o. $ x < -1 $ )."
Woher weiß ich, dass ich (speziell?) in diesem Fall mit der Einschränkung $ x < -1 $ beginnen muss? Ich könnte ja genauso gut mit der Einschränkung $x [mm] \leq [/mm] 1,5$ beginnen, oder?
Nun noch kurz zum Fall 4:
Fall 4:
Einschränkung: $1,5 < x > -1$
$ [mm] \left | \frac{3-2x}{1+x} \right [/mm] | = [mm] -\frac{3-2x}{1+x} \leq [/mm] 4 $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] -(-3-2x) [mm] \leq [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] (1+x) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \geq [/mm] -3,5 $
Hier kommt [mm] $\geq$ [/mm] zum Einsatz, da gilt: $1+x>0$ und somit das Ungleichheitszeichen nicht gedreht werden muss, stimmts?
Die Lösungsmenge ergibt sich dann aus der errechneten stärkeren Forderung $ x [mm] \geq [/mm] -3,5$, für die auch beide Ungleichungen gelten, zu:
$ [mm] L_4 [/mm] = [mm] \{x\in \IR: x \geq -3,5\} [/mm] $
PS: Warum ist dann die Lösungsmenge im Fall 1 so $ [mm] L_1 [/mm] = [mm] \{x\in \IR:\frac{3}{2} \ge x \ge -\frac{1}{6}\} [/mm] $? Woher weiß ich hier, dass ich da [mm] $-\frac{1}{6}$ [/mm] an die Stelle des -1 schreiben muss und warum haben wir hier auch noch das [mm] $\leq [/mm] 1,5$ im in die Lösungsmenge hineingeschrieben bei den anderen beiden Fällen aber nur eine Zahl?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Zitat: "Du beginnst einen Fall mit einer Einschränkung
> (s.o. [mm]x < -1[/mm] )."
>
> Woher weiß ich, dass ich (speziell?) in diesem Fall mit
> der Einschränkung [mm]x < -1[/mm] beginnen muss? Ich könnte ja
> genauso gut mit der Einschränkung [mm]x \leq 1,5[/mm] beginnen,
> oder?
Nein, du hast ja aufgrund der beiden Voraussetzungen die beiden Ungleichungen [mm]x < -1[/mm] und [mm]x \le 1.5[/mm] erhalten. Diese Voraussetzungen müssen beide gelten.
Beide Voraussetzungen gelten nur im Fall x < -1.
------
Hier nochmal eine Erläuterung zu Fall 1:
Im Fall 1 ist [mm]3-2x \ge 0[/mm] und [mm]1+x > 0[/mm].
(D.h. [mm]\frac{3}{2} \ge x > -1[/mm]) <-- Das war einfach eine Zusammenfassung der beiden Voraussetzungen.
Dann ist [mm]\red{+}\frac{3-2x}{1+x} = \left|\frac{3-2x}{1+x}\right| \le 4[/mm]
[mm]\Rightarrow 3-2x \le (1+x)*4[/mm]
[mm]\Rightarrow -\frac{1}{6} \le x[/mm]. <-- Das haben wir jetzt durch Auflösen der Gleichung erhalten.
Da die Einschränkung für x lautete: [mm]\frac{3}{2} \ge x > -1[/mm].
Als Lösungsmenge haben wir unter obigen Voraussetzungen erhalten: [mm]-\frac{1}{6} \le x[/mm].
Wir müssen nun wieder den "Schnitt" dieser beiden Mengen bilden. Das heißt wir suchen eine Menge für x, die beide Einschränkungen erfüllt.
Und es ist nun so, dass [mm]x \ge -\frac{1}{6}[/mm] eine stärkere Einschränkung als [mm]x > -1[/mm] ist. Also können wir die beiden Einschränkungen zu [mm]x \ge - \frac{1}{6}[/mm] zusammenfassen.
Für die Einschränkung für x von oben (d.h. x [mm] \le [/mm] ... ) haben wir ja nur eine Einschränkung vorliegen: [mm]x \le \frac{3}{2}[/mm]. Deswegen gilt die.
Also [mm]-\frac{1}{6} \le x \le \frac{3}{2}[/mm] ist die Lösungsmenge.
------
> Nun noch kurz zum Fall 4:
>
> Fall 4:
>
> Einschränkung: [mm]1,5 < x > -1[/mm]
Die stärkere Einschränkung ist also $x > 1.5$
Außerdem gibt es keine Einschränkung "von oben" für x.
> [mm]\left | \frac{3-2x}{1+x} \right | = -\frac{3-2x}{1+x} \leq 4[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -(-3-2x) \leq 4 \cdot (1+x) \Leftrightarrow x \geq -3,5[/mm]
> Hier kommt [mm]\geq[/mm] zum Einsatz, da gilt: [mm]1+x>0[/mm] und somit das
> Ungleichheitszeichen nicht gedreht werden muss, stimmts?
> Die Lösungsmenge ergibt sich dann aus der errechneten
> stärkeren Forderung [mm]x \geq -3,5[/mm], für die auch beide
> Ungleichungen gelten, zu:
>
> [mm]L_4 = \{x\in \IR: x \geq -3,5\}[/mm]
Nein, die stärkere Forderung ist die aus den Voraussetzungen. Du hast:
- Voraussetzung: $x > 1.5$
- Lösung: $x [mm] \ge -\frac{7}{2}$
[/mm]
$x > 1.5$ schließt mehr x aus ( = schränkt x mehr ein). Also ist [mm] $L_4 [/mm] = [mm] \{x\in \IR: x > 1.5\}$.
[/mm]
--------
Die Gesamtlösung erhältst du aus $L = [mm] L_1 \cup L_3 \cup L_4$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Gut, ich hab mir deine Antwort durchgelesen.
D.h. also nun für Fall 3, dass das Ergebnis nach der Umformung der beiden Ungleichungen $x [mm] \leq [/mm] -3,5$ lautet. In meiner Einschränkung am Anfang schränkt aber $-1 > x$ mehr ein als das errechnete Ergebnis $x [mm] \leq [/mm] -3,5$. Somit ergibt sich dann die Lösungsmenge für Fall 3 zu Folgender: $ [mm] \mathbb L_3 [/mm] = [mm] \{x\in \IR: -1 > x\} [/mm] $. Ist das soweit richtig?
Wenn ich dann nun die Gesamlösungsmenge haben will sieht das dann so aus:
[mm] $\mathbb L_{ges} [/mm] = [mm] \mathbb L_{1} \cup \mathbb L_{3} \cup \mathbb L_{4} [/mm] = [mm] \{x\in \IR| -\frac{1}{6}< x \leq 1,5 \cup -1 > x \cup x > 1,5\}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo!
> D.h. also nun für Fall 3, dass das Ergebnis nach der
> Umformung der beiden Ungleichungen [mm]x \leq -3,5[/mm] lautet. In
> meiner Einschränkung am Anfang schränkt aber [mm]-1 > x[/mm] mehr
> ein als das errechnete Ergebnis [mm]x \leq -3,5[/mm].
Nein!
Mal dir mal einen Zahlenstrahl auf, dann die Menge mit
$x < -1$
und die mit
$x [mm] \le [/mm] -3.5$.
Durch die zweite Forderung wird $x$ doch mehr eingeschränkt (Hilfreich ist es bei solchen Entscheidungen, beide Ungleichungen in der Form x < ... bzw. x [mm] \le [/mm] ... zu schreiben)
> Somit ergibt
> sich dann die Lösungsmenge für Fall 3 zu Folgender:
> [mm]\mathbb L_3 = \{x\in \IR: -1 > x\} [/mm]. Ist das soweit
> richtig?
Leider nur folgerichtig.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, du hast Recht. Ich sollte mir sowas immer öfter mit Zahlenstrahls aufmalen.
Somit ergibt sich dann die Lösungsmenge für Fall 3 zu Folgender: $ [mm] \mathbb L_3 [/mm] = [mm] \{x\in \IR: x \leq -3,5\} [/mm] $. Ist es jetzt richtig?
Wenn ich dann nun die Gesamlösungsmenge haben will sieht das dann so aus:
[mm] $\mathbb L_{ges} [/mm] $ = $ [mm] \mathbb L_{1} \cup \mathbb L_{3} \cup \mathbb L_{4} [/mm] = [mm] \{x\in \IR| -\frac{1}{6}< x \leq 1,5 \cup x \leq -3,5 \cup x > 1,5\} [/mm] $
Ich hoffe, dass die gesamte Lösungsmenge nun stimmt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn du mir jetzt noch erklären könntest wie man die Lösungsmenge vereinfacht, dann bin ich rundum glücklich und meine Aufgabe stimmt! 
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wenn du mir jetzt noch erklären könntest wie man die
> Lösungsmenge vereinfacht, dann bin ich rundum glücklich
> und meine Aufgabe stimmt!
So ein Nimmersatt
Du hast nun die Drei Lösungsmengen
[mm] -\frac{1}{6} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.5
x [mm] \le [/mm] -3.5
1.5 < x
gehabt. Zum Vereinfachen musst du dir diese drei Mengen eigentlich nur wieder auf einen Zahlenstrahl aufmalen.
Dann siehst du, dass die erste Bedingung und die dritten Bedingungen gut zusammenpassen:
( [mm] -\frac{1}{6} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.5 oder 1.5 < x ) [mm] \gdw -\frac{1}{6} \le [/mm] x.
Insgesamt bleibt [mm] $-\frac{1}{6} \le [/mm] x$ oder [mm] $x\le [/mm] -3.5$
Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
So danke, jetzt hab ich's komplett geschnallt! Du hast mir hier sehr weitergeholfen! So ausführlich hab ich das auch irgendwie nie gemacht; auch nicht im Abi damals...
Viel Spaß noch!
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
WolframAlpha