Veränderung von Sin(x) < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Di 27.08.2013 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Beschreibe, wie der Graph der Funktion y=sin(x) verändern muss, damit man die Graphen der folgenden Funktionen erhält:
a)f(x)= -2sin(x)
b)f(x)= sin [mm] (x+\pi)
[/mm]
c)f(x)= cos(x)-1
d)f(x)= sin(2x+6) |
Halli Hallo :)
Nun, ich versuche mal die einzelnen Gleichungen zu interpretieren und hoffe, dass ihr mir noch nen paar Tipps geben könnt:
zu a) f(x)=-2sin(x) , nun die Funktion ist wegen dem Minus genau umgekehrt und hat aufgrund des Faktors 2 einen doppelt so langen Pieck wie eine normale Sinusfunktion. Nun, wieso ist das so? Ich denke, da ja der Y-Wert für Sin(x)=1 verdoppelt wird und daher die Streckung des Pieckes?
zu b) Die Veränderung in der Klammer bewirkt eine Verschiebung des Funktionsgraphen. In diesem Falle genau um [mm] \pi [/mm] Einheiten auf der X-Achse nach links. Ich habe aber doch ein + in der Klammer, wieso dann nach links (ich kenn das bei Linearfaktoren bzw. auch Scheitelpunksform wo es auch so ist, hier aber fehlt mir gerade die Erklärung)
c)Bringt einfach ne Veschiebung der Cosinusfunktion nach unten.
d) Das bringt ne komplette Stauchung der Perioden. Das kann ich mir nicht ganz erklären, dazu vielleicht eine Hilfestellung?
Besten Dank im Voraus!
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Hallo
a)
die Funktion sin(x) wird zunächst an der x-Achse gespiegelt, bewirkt das Vorzeichen minus, dann verändert sich der Wertebereich von [mm] -2\le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2, bewirkt der Faktor 2 (was ist ein Pieck)
b)
ok
c)
als Zusatz, Verschiebung entlang der y-Achse um eine Einheit nach unten
d)
betrachte zunächst die lineare Funktion f(x) =2x+6, z.B. für x=4 bekommst du f(x)=14, dann also sin(14), beachte, dass dein Taschenrechner auf Bogenmaß steht
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Do 29.08.2013 | | Autor: | durden88 |
Besten Dank euch allen! Nun, wenn ich eine spezifische Funktion der Form sin(x)=a*sin(b(x-c))+d habe und diese einzeichnen möchte, dann gibt es ja höchst wahrscheinlich eine bestimmte Reihenfolge die ich zu beachten habe (bezogen auf zuerst strecken und zuerst verschieben). Welche ist diese genau?
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Hallo,
da gibt es keine zwingend vorgeschriebene Reihenfolge. Wenn man bspw. zuerst in y-Richtung verschiebt und dann in senkrechter Richtung streckt, dann muss man beachten, dass man nicht mehr an der x-Achse sondern an der Geraden y=d strecken muss.
Ich würde dir empfehlen:
1). die Streckung in x-Richtung (Periodenlänge)
2). die Verschiebung in x-Richtung (Phasenverschiebung)
3). die Amplitude a
4). die Verschiebung in y-Richtung
zu berücksichtigen.
.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 Fr 30.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Besten Dank euch allen! Nun, wenn ich eine spezifische
> Funktion der Form sin(x)=a*sin(b(x-c))+d habe und diese
> einzeichnen möchte, dann gibt es ja höchst wahrscheinlich
> eine bestimmte Reihenfolge die ich zu beachten habe
> (bezogen auf zuerst strecken und zuerst verschieben).
hast Du das hier:
https://matheraum.de/read?i=979141
nicht gelesen, oder noch Fragen dazu? Denn da habe ich explizit an dem
Bsp. erläutert, dass die Reihenfolge nicht eindeutig ist!
(Siehe $x [mm] \mapsto \sin(2x+6)$!)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Di 27.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beschreibe, wie der Graph der Funktion y=sin(x) verändern
> muss, damit man die Graphen der folgenden Funktionen
> erhält:
>
> a)f(x)= -2sin(x)
> b)f(x)= sin [mm](x+\pi)[/mm]
> c)f(x)= cos(x)-1
> d)f(x)= sin(2x+6)
> Halli Hallo :)
>
> Nun, ich versuche mal die einzelnen Gleichungen zu
> interpretieren und hoffe, dass ihr mir noch nen paar Tipps
> geben könnt:
>
> zu a) f(x)=-2sin(x) , nun die Funktion ist wegen dem Minus
> genau umgekehrt und hat aufgrund des Faktors 2 einen
> doppelt so langen Pieck
????? Pieck: http://www.google.de/#fp=1643bda966ad7fb1&q=Pieck
FRED
> wie eine normale Sinusfunktion.
> Nun, wieso ist das so? Ich denke, da ja der Y-Wert für
> Sin(x)=1 verdoppelt wird und daher die Streckung des
> Pieckes?
>
> zu b) Die Veränderung in der Klammer bewirkt eine
> Verschiebung des Funktionsgraphen. In diesem Falle genau um
> [mm]\pi[/mm] Einheiten auf der X-Achse nach links. Ich habe aber
> doch ein + in der Klammer, wieso dann nach links (ich kenn
> das bei Linearfaktoren bzw. auch Scheitelpunksform wo es
> auch so ist, hier aber fehlt mir gerade die Erklärung)
>
> c)Bringt einfach ne Veschiebung der Cosinusfunktion nach
> unten.
>
> d) Das bringt ne komplette Stauchung der Perioden. Das kann
> ich mir nicht ganz erklären, dazu vielleicht eine
> Hilfestellung?
>
> Besten Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 27.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beschreibe, wie der Graph der Funktion y=sin(x) verändern
> muss, damit man die Graphen der folgenden Funktionen
> erhält:
>
> a)f(x)= -2sin(x)
> b)f(x)= sin [mm](x+\pi)[/mm]
> c)f(x)= cos(x)-1
> d)f(x)= sin(2x+6)
> Halli Hallo :)
>
> Nun, ich versuche mal die einzelnen Gleichungen zu
> interpretieren und hoffe, dass ihr mir noch nen paar Tipps
> geben könnt:
>
> zu a) f(x)=-2sin(x) , nun die Funktion ist wegen dem Minus
> genau umgekehrt und hat aufgrund des Faktors 2 einen
> doppelt so langen Pieck wie eine normale Sinusfunktion.
> Nun, wieso ist das so? Ich denke, da ja der Y-Wert für
> Sin(x)=1 verdoppelt wird und daher die Streckung des
> Pieckes?
>
> zu b) Die Veränderung in der Klammer bewirkt eine
> Verschiebung des Funktionsgraphen. In diesem Falle genau um
> [mm]\pi[/mm] Einheiten auf der X-Achse nach links. Ich habe aber
> doch ein + in der Klammer, wieso dann nach links (ich kenn
> das bei Linearfaktoren bzw. auch Scheitelpunksform wo es
> auch so ist, hier aber fehlt mir gerade die Erklärung)
das ist relativ einfach:
Betrachte [mm] $g(x):=\sin(x)\,.$ [/mm] Sei nun $x'$ die Zahl, die um [mm] $\pi$ [/mm] kleiner ist
als [mm] $x,\,$ [/mm] also [mm] $x'=x-\pi\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $f(x')=f(\red{x-\pi})=\sin(\red{(x-\pi)}+\pi)=\sin(x)=g(x)\,.$
[/mm]
Kurzgesagt: Wenn man "die [mm] $x\,$-Achse [/mm] von links nach rechts durchläuft,
dann nimmt [mm] $f\,$ [/mm] die Werte [mm] $g(x)=\sin(x)\,$ [/mm] schon an den Stellen $x'$ an, die
um [mm] $\pi$ [/mm] kleiner als [mm] $x\,$ [/mm] sind".
Das einfachste Beispiel: [mm] $f(\red{-\pi})=g(0)=\sin(0)\,.$
[/mm]
> c)Bringt einfach ne Veschiebung der Cosinusfunktion nach
> unten.
>
> d) Das bringt ne komplette Stauchung der Perioden. Das kann
> ich mir nicht ganz erklären, dazu vielleicht eine
> Hilfestellung?
[mm] $\sin(2x+6)=\sin(2*(x+3))\,.$
[/mm]
Mögliche Erklärung, wie der Graph aussieht:
Weil bei [mm] $\sin(2x)$ [/mm] die Werte von [mm] $\sin(x)$ [/mm] schon an den Stellen $x'$
angenommen werden, die nur halb so groß sind ($x'=x/2$), ist der Graph von $x [mm] \mapsto \sin(2x)$ [/mm]
entlang der $x$-Achse gestaucht (die (kleinste, echt positive) Periode ist
auch nur halb so groß). Weil da aber nun [mm] $\sin(2(x+3))$ [/mm] steht, wird dieser
gestauchte Graph auch noch um 3 nach links verschoben.
(Wenn Du $x [mm] \mapsto \sin(2x)$ [/mm] mit $x' [mm] \mapsto \sin(2(x'+3))$ [/mm] vergleichst, dann gilt für $x'=x-3$ schon
[mm] $\sin(2(x'+3))=\sin(2(x-3+3))=\sin(2x)\,.$
[/mm]
Allgemein: Ist [mm] $x_0 \ge [/mm] 0,$ so ist der Graph von [mm] $g(x)=f(x+x_0)$ [/mm] im Vergleich
zum Graphen von $f$ um [mm] $x_0$ [/mm] nach links verschoben, und der Graph von
[mm] $h(x)=f(x-x_0)$ [/mm] ist um [mm] $x_0$ [/mm] nach rechts verschoben.)
Alternativ kannst Du auch das Aussehen dieses Graphen von Aufgabe d)
so erklären, dass Du zuerst [mm] $\sin(x+3)$ [/mm] betrachtest (den Sinus-Graphen also um 3
nach links verschiebst) und danach stauchst (wegen des Faktors 2).
Als Eselsbrücke nehme man, aus Eindeutigkeitsgründen, jedenfalls besser
nicht [mm] $f(x)=x\,,$ [/mm] sondern etwa $f(x)=|x|$ oder $f(x)=2x$ oder [mm] $f(x)=x^2\,.$
[/mm]
Ich betrachte mal [mm] $f(x)=2x\,.$ [/mm] Dann sieht der Graph von $h(x):=2*(x-3)=f(x-3)$
aus wie der Graph von [mm] $f\,,$ [/mm] wenn man den um $3$ nach rechts verschiebt:
So ist etwa $f(0)=0=h(3).$
Schreibt man allerdings [mm] $h\,$ [/mm] um zu [mm] $h(x)=2x-6\,,$ [/mm] so kann man auch folgendes
interpretieren: Wenn man den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] um 6 nach unten verschiebt,
so erhält man den Graphen von [mm] $h\,.$ [/mm] (Denn ist [mm] $h(x)=f(x)-6\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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