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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:02 Mo 30.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
| Aufgabe | | Seien m,n [mm] \in [/mm] IN, m < n und k [mm] \in [/mm] {2,...,n}. Mit [mm] a_{n} [/mm] := (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm] gilt für n [mm] \ge [/mm] : [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}. [/mm] |
Hallo, muss diese Aufgabe lösen und dachte auch sie wäre relativ einfach.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
IA: n=2 (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{n}< [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] ist klar [mm] \Box
[/mm]
IS: n--> n+1
(1+ [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1}<(1+ \bruch{1}{n+2})^{n+2}
[/mm]
nun versuche ich die rechte seite umzuformen:
(n+1) * (1+ [mm] \bruch{1}{n+2})^{n+1} [/mm] , aber ab hier fehlt mir jegliceh idee.
das problem liegt bei mir das ich [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] nicht umformen kann und somit nicht weiter komme. ich hoffe mir kann jemand helfen. muss das heute mittag abgeben und versuche michs chon die ganze zeit daran
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Hallo,
einfacher geht's sicher *ohne* vollständige Induktion:
Alle [mm] $a_n$ [/mm] sind positiv (Bernoullische Ungleichung). [mm] $a_n$ [/mm] umgeformt:
[mm] $a_n=\bruch{n+1)^n}{n^n}$.
[/mm]
Jetzt bilde mal den Quotienten [mm] $a_{n+1}/ a_n$ [/mm] und zeige, daß der >1 ist.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mo 30.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
danken zahlenspieler, kannst du mir da wohl weiterhelfen?ich kann das irgendwie nicht und bei dem link von leopold kann ich das ja so nicht machen, da ich den hinweisa ja garnicht habe. ich hoffe einer von euch kann mir nochmal helfen was ich hier machen muss,ist echt wohl dringend...bitte bitte *ganzliebguckt*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin hiltrud!
kann es sein das du zusammen mit Marina einen Kurs belegt hast?
Nun der Link zu ihrem fred sollte dir weiterhelfen - sie hat die gleiche Aufgabe gestellt.
Hier der Link
MfG
Sashman
Das hat man nun davon wenn man die Aufgabe nur mit halben Arsch liest.
Hab den Anfang gelesen und den Rest dann nicht weiter Großes SORRY
Ich glaube dein induktiver Ansatz läßt sich so einfach nicht realisieren. Und die Methode von zahlenspieler scheint die einfachste zu sein.
also zeige [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}>1 [/mm] daraus folgt dann [mm] a_n
Und gleich ist doch wohl die Aufgabe nur eben nicht das Problem mit ihr. 
freundlich grüßend Sashman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 30.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
ja könnte sein, aba was ist denn daran gleich, ich habe doch eine andere teilaufgabe. weißt du ob ich es so machen kann wie bei dem link wo der hinweis gegeben ist ,obwohl ich keinen habe. ich bekomme da kein bein auf den boden
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> ja könnte sein, aba was ist denn daran gleich, ich habe
> doch eine andere teilaufgabe. weißt du ob ich es so machen
> kann wie bei dem link wo der hinweis gegeben ist ,obwohl
> ich keinen habe. ich bekomme da kein bein auf den boden
Hallo,
ist es richtig, daß es Dein aktuelles Problem ist, $ [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}>1 [/mm] $ zu beweisen?
Ein wichtiger Hinweis wurde bereits genannt: Bernoulli.
Wie geht die Ungleichung? So:
Sei x [mm] \ge [/mm] -1. Dann dilt [mm] (1+x]^n \ge [/mm] 1+nx für alle n [mm] \in \IN. [/mm]
Also [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=
[/mm]
(1+ $ [mm] \bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] $(1+ $ [mm] \bruch{1}{n})^{-n} [/mm] $
[mm] =(\bruch{n+2}{n+1})^{n+1} (\bruch{n}{n+1})^n
[/mm]
[mm] =(\bruch{n+2}{n+1})^{n+1} (\bruch{n}{n+1})^{n+1}(\bruch{n+1}{n})
[/mm]
[mm] =(\bruch{(n+2)n}{(n+1)^2})^{n+1}(\bruch{n+1}{n})
[/mm]
[mm] =(\bruch{(n+1)^2-1}{(n+1)^2})^{n+1}(\bruch{n+1}{n})
[/mm]
=(1- [mm] \bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1}(\bruch{n+1}{n})
[/mm]
Da - [mm] \bruch{1}{(n+1)^2}\ [/mm] ge -1, kannst Du auf die erste Klammer Bernoulli anwenden .
...
Wobei mir da just im Moment ein kleiner Schönheitsfehler auffällt, welcher weitere überlegungen erfordert: in der Ungleichung steht [mm] \ge [/mm] und nicht >.
Gruß v. Angela
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