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Volumen Rotationskörpr y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Volumen Rotationskörpr y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Mo 02.03.2020
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers um die y-Achse zu der Funktion

f(x) = [mm] x^2 [/mm] -1    mit den Grenzen y1 = 0  und y2 = 3.

Moin Moin,

in der Formelsammlung fand ich:

V = [mm] \pi*\integral_{0}^{3}{x^2 dy} [/mm]


1. Funktion nach x umformen

y = [mm] x^2 [/mm] -1  | +1

[mm] x^2 [/mm] = y+1

x = [mm] \wurzel{y+1} [/mm]


2. Einsetzen in die Rotationskörperformel


V = [mm] \pi*\integral_{0}^{3}{(\wurzel{y+1})^2 dy} [/mm]

V = [mm] \pi*\integral_{0}^{3}{(y+1) dy} [/mm]

V = [mm] \pi*[\bruch{1}{2}*y^2 [/mm] +y]

V = [mm] \pi*((\bruch{1}{2}*3^2 [/mm] +3) - [mm] (\bruch{1}{2}*0^2 [/mm] +0))

V = [mm] 7,5*\pi \approx [/mm] 23,56  VE.


Ist das soweit richtig?


Wenn das soweit stimmt...

Ich würde gerne das Problem lösen, in dem ich die zugehörige Funktion um die x-Achse rotieren lasse. Da meine Lösung mit obiger nicht übereinstimmt, meine Frage: Was ist der Fehler?


Rotationskörper um x-Achse

V = [mm] \pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm]  


Rotatiosnkörper um y-Achse

V = [mm] \pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(g(y))^2 dy} [/mm]  


Ich würde folgern

y1 = f(a)   =>  0 = [mm] a^2 [/mm] -1    bzw.  a= 1

y2 = f(b)  =>  3 = [mm] b^2 [/mm] -1    bzw. b= 2


Daraus würde sich ergeben:

V = [mm] \pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm]  

V = [mm] \pi*\integral_{1}^{2}{(x^2-1)^2 dx} [/mm]  

V = [mm] \pi*\integral_{1}^{2}{(x^4 -2*x^2 +1) dx} [/mm]  

V = [mm] \pi*[\bruch{1}{5}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3 [/mm] +x]    

V [mm] =\pi*(\bruch{1}{5}*2^5 -\bruch{2}{3}*2^3 [/mm] +2) - [mm] (\bruch{1}{5}*1^5 -\bruch{2}{3}*1^3 [/mm] +1))

V [mm] =\pi*(\bruch{45}{15} [/mm] - [mm] \bruch{8}{15}) [/mm]

V [mm] \approx [/mm] 7,96  VE  


????


















        
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Mo 02.03.2020
Autor: leduart

Hallo
erstmal der erste Teil ist richtig, unverständlich nur, wenn du [mm] x^2 [/mm] brauchst, warum erst x bestimmen und dann wieder quadrieren?  2. statt gerundete Werte [mm] 7,5\pi [/mm] stehen lassen
im zweiten Teil  setzt du dann erst mal allgemein g(y) ein später verwendet du aber einfach f(x) , damit rotierst du  ein Paradestück um die x- Achse also hast du ein völlig anderes Volumen bestimmt.  du kannst schreiben y=f(x) und das umformen in x=g(y) das war genau dein sqrt(y+1) was du richtig integriert hast.
die Idee hinter dem Integral ist doch: wenn du um die y  Achse rotierst denkst du dir den Körper in Scheiben der Dicke dy mit dem Radius x eingeteilt eine Scheibe hat dann das Volumen [mm] \pi*x^2*dy [/mm] und die "addierst" du alle auf, das ergibt, wenn die Scheiben immer mehr und dünner werden das Integral. wenn du um die x- Achse rotierst entsprechend Scheiben mit Radius y und Dicke dx.
zeichne dir das doch mal auf, um es klar zu kriegen.
Gruß ledum
Gruß ledum


Bezug
                
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mo 02.03.2020
Autor: hase-hh

Moin,

> ...
>  im zweiten Teil  setzt du dann erst mal allgemein g(y) ein
> später verwendet du aber einfach f(x) , damit rotierst du  
> ein Paradestück um die x- Achse also hast du ein völlig

Was bedeutet "ein Paradestück" ???

> anderes Volumen bestimmt.  du kannst schreiben y=f(x) und
> das umformen in x=g(y) das war genau dein sqrt(y+1) was du
> richtig integriert hast.

> die Idee hinter dem Integral ist doch: wenn du um die y  
> Achse rotierst denkst du dir den Körper in Scheiben der
> Dicke dy mit dem Radius x eingeteilt eine Scheibe hat dann
> das Volumen [mm]\pi*x^2*dy[/mm] und die "addierst" du alle auf, das
> ergibt, wenn die Scheiben immer mehr und dünner werden das
> Integral. wenn du um die x- Achse rotierst entsprechend
> Scheiben mit Radius y und Dicke dx.

klar.


Ich möchte das Volumen des entsprechenden Rotationskörpers um die x-Achse bestimmen.


Ich muss also als erstes die Umkehrfunktion bilden:


f(x) = [mm] x^2 [/mm] -1     bzw.  y = [mm] x^2 [/mm] -1


1. Vertausche x und y

x = [mm] y^2 [/mm] -1

2. Auflösen nach y

y = [mm] \wurzel{x+1} [/mm]

bzw.  g(y)


Wie komme ich aber jetzt, falls das soweit richtig ist, zu den Grenzen a und b?

Meine Idee scheint ja nicht zu funktionieren!



[Dateianhang nicht öffentlich]

Zusatzfrage: Ist bei meinem Lösungsweg 1. Teil vielleicht gar nicht die blaue Funktion um die y-Achse rotiert worden, sondern die rote um die x-Achse??? Bin verwirrt.






Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:52 Di 03.03.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> Moin,
>  
> > ...
> >  im zweiten Teil  setzt du dann erst mal allgemein g(y) ein

> > später verwendet du aber einfach f(x) , damit rotierst du  
> > ein Paradestück um die x- Achse also hast du ein völlig
>
> Was bedeutet "ein Paradestück" ???

Sollte wohl Parabelstück heißen.

>  
> > anderes Volumen bestimmt.  du kannst schreiben y=f(x) und
> > das umformen in x=g(y) das war genau dein sqrt(y+1) was du
> > richtig integriert hast.
>  
> > die Idee hinter dem Integral ist doch: wenn du um die y  
> > Achse rotierst denkst du dir den Körper in Scheiben der
> > Dicke dy mit dem Radius x eingeteilt eine Scheibe hat dann
> > das Volumen [mm]\pi*x^2*dy[/mm] und die "addierst" du alle auf, das
> > ergibt, wenn die Scheiben immer mehr und dünner werden das
> > Integral. wenn du um die x- Achse rotierst entsprechend
> > Scheiben mit Radius y und Dicke dx.
>  klar.
>  
>
> Ich möchte das Volumen des entsprechenden
> Rotationskörpers um die x-Achse bestimmen.
>
>
> Ich muss also als erstes die Umkehrfunktion bilden:
>  
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] -1     bzw.  y = [mm]x^2[/mm] -1
>  
>
> 1. Vertausche x und y
>  
> x = [mm]y^2[/mm] -1
>  
> 2. Auflösen nach y
>  
> y = [mm]\wurzel{x+1}[/mm]
>  
> bzw.  g(y)
>
>
> Wie komme ich aber jetzt, falls das soweit richtig ist, zu
> den Grenzen a und b?

Die Grenzen sind y1=0 und y2=3, da du bei dem Umformen x und y
vertaucht hast, was soweit richtig ist.
Bei der Aufgabe war y1 und y2 gegeben und nicht ein Intervall für x
das den Rotationskörper begrenzt.

>  
> Meine Idee scheint ja nicht zu funktionieren!
>  
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Zusatzfrage: Ist bei meinem Lösungsweg 1. Teil vielleicht
> gar nicht die blaue Funktion um die y-Achse rotiert worden,
> sondern die rote um die x-Achse??? Bin verwirrt.
>  

Es muss dasselbe raus kommen, wenn man die blaue Kurve um die y-Achse
und die rote Kurve um die x-Achse rotiert; mit den entsprechenden Grenzen,
damit auch jedesmal der gleiche Rotationskörper entsteht.
(Rechnerisch überführt man ja auch die eine Kurve in die andere.)

>
>
>
>  

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:41 Di 03.03.2020
Autor: hase-hh


>  
> > > ...
> > >  im zweiten Teil  setzt du dann erst mal allgemein g(y) ein

> > > später verwendet du aber einfach f(x) , damit rotierst du  
> > > ein Paradestück um die x- Achse also hast du ein völlig
> >
> > Was bedeutet "ein Paradestück" ???
>  Sollte wohl Parabelstück heißen.

  
ok  

>...

> Es muss dasselbe raus kommen, wenn man die blaue Kurve um
> die y-Achse
>  und die rote Kurve um die x-Achse rotiert; mit den
> entsprechenden Grenzen,
> damit auch jedesmal der gleiche Rotationskörper entsteht.
>  (Rechnerisch überführt man ja auch die eine Kurve in die
> andere.)
> >  

> Gruß
>  meili

Wie gesagt, mein Problem ist: Es kommt eben nicht das gleiche dabei heraus!


1. Rotation um y-Achse

aus f(x) = [mm] x^2 [/mm] -1  folgt  x = [mm] \wurzel{y+1} [/mm]

eingesetzt in die Volumenformel...

V = [mm] \pi*\integral_{0}^{3}{x^2 dy} [/mm]

V = [mm] \pi*\integral_{0}^{3}{(\wurzel{y+1})^2 dy} [/mm]

V = [mm] \pi*\integral_{0}^{3}{(y+1) dy} [/mm]

V = [mm] \pi*[\bruch{1}{2}*y^2 [/mm] +y]

V = [mm] \pi*((\bruch{1}{2}*3^2 [/mm] +3) - [mm] (\bruch{1}{2}*0^2 [/mm] +0))

V = [mm] 7,5*\pi [/mm]  VE


2. Rotation um x-Achse


V = [mm] \pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm]  

y1 = f(a)   =>  0 = [mm] a^2 [/mm] -1    bzw.  a= 1

y2 = f(b)  =>  3 = [mm] b^2 [/mm] -1    bzw. b= 2


Daraus würde sich ergeben:

V = [mm] \pi*\integral_{1}^{2}{(x^2-1)^2 dx} [/mm]  

V = [mm] \pi*\integral_{1}^{2}{(x^4 -2*x^2 +1) dx} [/mm]  

V = [mm] \pi*[\bruch{1}{5}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3 [/mm] +x]    

V [mm] =\pi*(\bruch{1}{5}*2^5 -\bruch{2}{3}*2^3 [/mm] +2) - [mm] (\bruch{1}{5}*1^5 -\bruch{2}{3}*1^3 [/mm] +1))

V [mm] =\pi*(\bruch{46}{15} [/mm] - [mm] \bruch{8}{15}) [/mm]

V [mm] =\bruch{38}{15}*\pi [/mm]


Wo ist - konkret - mein Fehler???


Bezug
                                        
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:31 Di 03.03.2020
Autor: hase-hh

... ich habe gerade zwei Verdachte:

1. Ich berechne das Rotationsvolumen gar nicht auf zwei verschiedene Weisen. Sondern: Bei Rotation um die y-Achse forme ich die Funktion so um, dass sie an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird, und lasse diese Umkehrfunktion dann um die x-Achse rotieren... berechne das Volumen letzlich über Rotation (der Umkehrfunktion) um die x-Achse.

2. Der Fehler könnte dann nur noch darin bestehen, welche Grenzen hierfür zugrundezulegen sind.

Bezug
                                                
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:31 Di 03.03.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> ... ich habe gerade zwei Verdachte:
>  
> 1. Ich berechne das Rotationsvolumen gar nicht auf zwei
> verschiedene Weisen. Sondern: Bei Rotation um die y-Achse
> forme ich die Funktion so um, dass sie an der
> Winkelhalbierenden gespiegelt wird, und lasse diese
> Umkehrfunktion dann um die x-Achse rotieren... berechne das
> Volumen letzlich über Rotation (der Umkehrfunktion) um die
> x-Achse.

[ok]
Ja, genau so ist es.

>  
> 2. Der Fehler könnte dann nur noch darin bestehen, welche
> Grenzen hierfür zugrundezulegen sind.

Nein. Als Du die Rotation um die x-Achse berechnet hast, hast du nicht die
Umkehrfunktion genommen, sondern die Funktion f(x) aus der Aufgabenstellung.
Dadurch entsteht ein anderer Rotationskörper.

Gruß
meili

Bezug
                                        
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Di 03.03.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> >  

> > > > ...
> > > >  im zweiten Teil  setzt du dann erst mal allgemein g(y) ein

> > > > später verwendet du aber einfach f(x) , damit rotierst du  
> > > > ein Paradestück um die x- Achse also hast du ein völlig
> > >
> > > Was bedeutet "ein Paradestück" ???
>  >  Sollte wohl Parabelstück heißen.
>    
> ok  
>
> >...
> > Es muss dasselbe raus kommen, wenn man die blaue Kurve um
> > die y-Achse
>  >  und die rote Kurve um die x-Achse rotiert; mit den
> > entsprechenden Grenzen,
> > damit auch jedesmal der gleiche Rotationskörper entsteht.
>  >  (Rechnerisch überführt man ja auch die eine Kurve in
> die
> > andere.)
>  > >  

> > Gruß
>  >  meili
>
> Wie gesagt, mein Problem ist: Es kommt eben nicht das
> gleiche dabei heraus!
>  
>
> 1. Rotation um y-Achse
>
> aus f(x) = [mm]x^2[/mm] -1  folgt  x = [mm]\wurzel{y+1}[/mm]
>
> eingesetzt in die Volumenformel...
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{0}^{3}{x^2 dy}[/mm]
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{0}^{3}{(\wurzel{y+1})^2 dy}[/mm]
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{0}^{3}{(y+1) dy}[/mm]
>  
> V = [mm]\pi*[\bruch{1}{2}*y^2[/mm] +y]
>
> V = [mm]\pi*((\bruch{1}{2}*3^2[/mm] +3) - [mm](\bruch{1}{2}*0^2[/mm] +0))
>  
> V = [mm]7,5*\pi[/mm]  VE

[ok]

>  
>
> 2. Rotation um x-Achse
>  
>
> V = [mm]\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]  
>
> y1 = f(a)   =>  0 = [mm]a^2[/mm] -1    bzw.  a= 1

>  
> y2 = f(b)  =>  3 = [mm]b^2[/mm] -1    bzw. b= 2

>  
>
> Daraus würde sich ergeben:
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{2}{(x^2-1)^2 dx}[/mm]  
>
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{2}{(x^4 -2*x^2 +1) dx}[/mm]  
>
> V = [mm]\pi*[\bruch{1}{5}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3[/mm] +x]    
>
> V [mm]=\pi*(\bruch{1}{5}*2^5 -\bruch{2}{3}*2^3[/mm] +2) -
> [mm](\bruch{1}{5}*1^5 -\bruch{2}{3}*1^3[/mm] +1))
>  
> V [mm]=\pi*(\bruch{46}{15}[/mm] - [mm]\bruch{8}{15})[/mm]
>  
> V [mm]=\bruch{38}{15}*\pi[/mm]
>
>
> Wo ist - konkret - mein Fehler???

Du rechnest mit der "falschen" Funktion, eben f(x) aus der Aufgabenstellung.
Mit dieser Rechnung rotierst du das Stück der blauen Kurve für x zwischen
1 und 2 aus deiner Zeichnung um die x-Achse.
Dadurch entsteht ein anderer Rotationskörper, als wenn du das passende
Stück aus der roten Kurve deiner Zeichnung um die x-Achse rotierst.

>  

Gruß
meili

Bezug
                                                
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Di 03.03.2020
Autor: hase-hh

Moin meili,

> > 2. Rotation um x-Achse

> > V = [mm]\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]  

> > y1 = f(a)   =>  0 = [mm]a^2[/mm] -1    bzw.  a= 1

  

> > y2 = f(b)  =>  3 = [mm]b^2[/mm] -1    bzw. b= 2

> > Daraus würde sich ergeben:

  

> > V = [mm]\pi*\integral_{1}^{2}{(x^2-1)^2 dx}[/mm]  

> > V = [mm]\pi*\integral_{1}^{2}{(x^4 -2*x^2 +1) dx}[/mm]  

> > V = [mm]\pi*[\bruch{1}{5}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3[/mm] +x]    

> > V [mm]=\pi*(\bruch{1}{5}*2^5 -\bruch{2}{3}*2^3[/mm] +2) - [mm](\bruch{1}{5}*1^5 -\bruch{2}{3}*1^3[/mm] +1))

  

> > V [mm]=\pi*(\bruch{46}{15}[/mm] - [mm]\bruch{8}{15})[/mm]

  

> > V [mm]=\bruch{38}{15}*\pi[/mm]

> > Wo ist - konkret - mein Fehler???
>  Du rechnest mit der "falschen" Funktion, eben f(x) aus der
> Aufgabenstellung.
> Mit dieser Rechnung rotierst du das Stück der blauen
> Kurve für x zwischen
> 1 und 2 aus deiner Zeichnung um die x-Achse.
> Dadurch entsteht ein anderer Rotationskörper, als wenn du
> das passende
> Stück aus der roten Kurve deiner Zeichnung um die x-Achse
> rotierst.

Also, ich nehme die Umkehrfunktion  [mm] \wurzel{x+1} [/mm]

V = [mm] \pi*\integral_{1}^{2}{\wurzel{x+1})^2 dx} [/mm]

...aber dann ist V = [mm] 2,5*\pi [/mm]  und nicht [mm] 7,5*\pi [/mm] ???





Bezug
                                                        
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Di 03.03.2020
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> Moin meili,
>  
> > > 2. Rotation um x-Achse
>  
> > > V = [mm]\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]  
>
> > > y1 = f(a)   =>  0 = [mm]a^2[/mm] -1    bzw.  a= 1

>    
> > > y2 = f(b)  =>  3 = [mm]b^2[/mm] -1    bzw. b= 2

>  
> > > Daraus würde sich ergeben:
>    
> > > V = [mm]\pi*\integral_{1}^{2}{(x^2-1)^2 dx}[/mm]  
>
> > > V = [mm]\pi*\integral_{1}^{2}{(x^4 -2*x^2 +1) dx}[/mm]  
>
> > > V = [mm]\pi*[\bruch{1}{5}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3[/mm] +x]    
>
> > > V [mm]=\pi*(\bruch{1}{5}*2^5 -\bruch{2}{3}*2^3[/mm] +2) -
> [mm](\bruch{1}{5}*1^5 -\bruch{2}{3}*1^3[/mm] +1))
>    
> > > V [mm]=\pi*(\bruch{46}{15}[/mm] - [mm]\bruch{8}{15})[/mm]
>    
> > > V [mm]=\bruch{38}{15}*\pi[/mm]
>
> > > Wo ist - konkret - mein Fehler???
>  >  Du rechnest mit der "falschen" Funktion, eben f(x) aus
> der
> > Aufgabenstellung.
>  > Mit dieser Rechnung rotierst du das Stück der blauen

> > Kurve für x zwischen
> > 1 und 2 aus deiner Zeichnung um die x-Achse.
>  > Dadurch entsteht ein anderer Rotationskörper, als wenn

> du
> > das passende
> > Stück aus der roten Kurve deiner Zeichnung um die x-Achse
> > rotierst.
>  
> Also, ich nehme die Umkehrfunktion  [mm]\wurzel{x+1}[/mm]
>
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{2}{\wurzel{x+1})^2 dx}[/mm]

Jetzt musst du noch die Grenzen korrigieren. Integration geht von 0 bis 3.

>  
> ...aber dann ist V = [mm]2,5*\pi[/mm]  und nicht [mm]7,5*\pi[/mm] ???
>  
>
>
>  

Gruß
meili

Bezug
                                                                
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mi 04.03.2020
Autor: hase-hh

Moin,

> > V = [mm]\pi*\integral_{1}^{2}{\wurzel{x+1})^2 dx}[/mm]
>  Jetzt
> musst du noch die Grenzen korrigieren. Integration geht von
> 0 bis 3.

Die Grenzen waren doch von Anfang an y1=0  und y2=3.


1. Meine Idee war, das Rotationsvolumen auf zwei verschiedene Weisen auszurechnen. Aber es sieht so aus, als ob das Volumen auf ein und dieselbe Weise berechnet wird?!  ???


2. Es scheint keinen Sinn zu ergeben  f(0)=1 und f(3)=2  überhaupt zu berechnen.  ???  


2a.  In Bezug auf die Aufgabenstellung bedeutet das, dass ich bei vorgegebenen y-Werten KEINE Umrechnung der Grenzen mache.  ???

Bezug
                                                                        
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:45 Mi 04.03.2020
Autor: fred97

Ich zitiere Dich:

Da stand Unsinn

Bezug
                                                                                
Bezug
Volumen Rotationskörpr y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Mi 04.03.2020
Autor: hase-hh

Moin Fred,

> Ich zitiere Dich:
>  
> > 2. Rotation um x-Achse
>  
>
> > V = [mm]\pi\cdot{}\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]  
>
> > y1 = f(a)   =>  0 = [mm]a^2[/mm] -1    bzw.  a= 1

>  
> Hier ist Dein Fehler. Es ist [mm]a=-1[/mm] !! Jede Menge Bilder sind
> in dieser Diskussion entstanden und keiner hat es gesehen.
>  
> > y2 = f(b)  =>  3 = [mm]b^2[/mm] -1    bzw. b= 2

>  

Ok, wenn das stimmt, warum kommt dann nicht dasselbe heraus, nämlich [mm] 7,5*\pi [/mm] ?

V = [mm] \pi*\integral_{-1}^{2}{(\wurzel{x+1})^2 dx} [/mm]

V= [mm] \pi*\integral_{-1}^{2}{(x+1) dx} [/mm]

V = [mm] \pi*[\bruch{1}{2}*x^2 [/mm] +x]

[mm] \pi*[\bruch{1}{2}*2^2 [/mm] +2 - [mm] (\bruch{1}{2}*(-1)^2 [/mm] -1)]

[mm] \pi*[4 [/mm] +0,5] = [mm] 4,5*\pi [/mm]


???

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Volumen Rotationskörpr y-Achse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Mi 04.03.2020
Autor: fred97


> Moin Fred,
>  
> > Ich zitiere Dich:
>  >  
> > > 2. Rotation um x-Achse
>  >  
> >
> > > V = [mm]\pi\cdot{}\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}[/mm]  
> >
> > > y1 = f(a)   =>  0 = [mm]a^2[/mm] -1    bzw.  a= 1

>  >  
> > Hier ist Dein Fehler. Es ist [mm]a=-1[/mm] !! Jede Menge Bilder sind
> > in dieser Diskussion entstanden und keiner hat es gesehen.
>  >  
> > > y2 = f(b)  =>  3 = [mm]b^2[/mm] -1    bzw. b= 2

>  >  
>
> Ok, wenn das stimmt, warum kommt dann nicht dasselbe
> heraus, nämlich [mm]7,5*\pi[/mm] ?
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{-1}^{2}{(\wurzel{x+1})^2 dx}[/mm]
>  
> V= [mm]\pi*\integral_{-1}^{2}{(x+1) dx}[/mm]
>  
> V = [mm]\pi*[\bruch{1}{2}*x^2[/mm] +x]
>
> [mm]\pi*[\bruch{1}{2}*2^2[/mm] +2 - [mm](\bruch{1}{2}*(-1)^2[/mm] -1)]
>  
> [mm]\pi*[4[/mm] +0,5] = [mm]4,5*\pi[/mm]
>  
>
> ???


Pardon ich habe mich vertan.

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Volumen Rotationskörpr y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mi 04.03.2020
Autor: leduart

Hallo
wenn du dir noch mal dein eigene Graphik ansiehst sollte du sehen dass du von 0 bis 3 integrieren musst , du hast ja einfach x und y vertauscht,  dabei bleiben doch die Grenzen fest, 0 wir auf 0 gespiegelt 3 auf 3. am beten zeichnest du dir in der roten und der bleuen Kurve,das Stück ein, das rotiert, das muss natürlich dasselbe sein.
Gruß ledum

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Volumen Rotationskörpr y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Do 05.03.2020
Autor: hase-hh

... und noch einmal:

Es ging mir um zwei verschiedene Lösungswege.

Der 1. Lösungsweg ergibt  V= [mm] 7,5*\pi. [/mm]


Und ich muss zu dem Schluss kommen, dass der 2. Lösungsweg mit dem ersten Lösungsweg übereinstimmt.


Es wird also in keinem Fall "um die y-Achse gerechnet", sondern mittels der Umkehrfunktion immer "um die x-Achse gerechnet".


?!

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Volumen Rotationskörpr y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Do 05.03.2020
Autor: leduart

Hallo
nein, man kann dieselbe Kurve, z.B, deine Parabel mal um die x-Achse drehen, mal um die y Achse, das gibt sehr verschiedene Körper und damit auch Volumen.
Um die x Achse drehen, man nimmt Kreisscheiben der Dicke dx und dem Radius f(x) und summiert sie  also [mm] \pi*f^2(x)*dx [/mm]
um die y-Achse drehen, man nimmt Kreisscheiben der Dicke dy und Radius x also [mm] \pi*x^2dy. [/mm]

Wenn man dann nicht weiss, wie man um die y- Achse rotiert, kann man stat dessen die y- Achse wie die x- Achse behandeln. bzw die Umkerhrfunktion um die x Achse rotieren, das ändert an dem Integral im Ergebnis nichts.
Gruß ledum

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Volumen Rotationskörpr y-Achse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:05 Do 12.03.2020
Autor: hase-hh

Ja, und deshalb sind meine zwei Lösungsansätze im Prinzip gleich = ein und derselbe Lösungsansatz.

Das war der Knoten.


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