Was sind/Wozu gibt's Tensoren? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | | Tensor - Definition |
Hallo zusammen,
momentan würde ich mich gerne nebenher mit Tensoren und deren Eigenschaften beschäftigen, weil sie in manchen Gebieten der Physik wohl immer gerne herangezogen werden.
Mein Problem fängt allerdings schon bei der Definition an:
Tensoren bestehen aus Komponenten, die auf eine gewisse Art und Weise durchnummeriert/durchlaufen werden. Und ein Tensor ist anscheinend eine multilineare Abbildung in den zugehörigen Körper. Zumindest verstehe ich die mir bisher angesehenen Definitionen so.
Mir sind dabei einige Sachen aber schon bei "einfachen Tensoren" unklar, so dass ich denke, dass ich wohl die Definition eines Tensors nicht ganz begriffen habe. Denn zum einen frage ich mich, ob man nun Tensoren und Vektoren (jedenfalls der Stufe 1) miteinander identifizieren kann. Anscheinend ist das aber nicht so, da es wohl Vektoren gibt, die keine Tensoren sind. Aber gilt umgekehrtes? Kann man jeden Tensor mit einem Vektor identifizieren?
Zum anderen: Was unterscheidet nun Tensoren der Stufe 1 von den linearen Abbildungen des Dualraums?
Anscheinend möchte man gewisse Invarianzen unter gewissen Transformationen haben. Mir ist nicht ganz klar, wofür man da überhaupt Tensoren der Stufe 1 hernimmt. Gefühlsmäßig hätte ich diese "physikalischen Vektorpfeile" halt, wenn sie gleich lang sind und in die gleiche Richtung weisen, in Äquivalenzklassen unterteilt und dann auf der Menge der Äquivalenzklassen gearbeitet.
Ich glaube, meine zwei größten Probleme zur Zeit sind:
Ich habe bislang noch keine sinnvolle, ausführliche physikalische Motivation gefunden, die den Begriff des Tensors motiviert.
Und: Mir fehlt eine ausführliche und verständliche Definition des mathematischen Begriffs des Tensors.
Ich habe zum Bsp. gelesen, dass man
"Einen Tensor der Stufe 1, im Folgenden [mm] $w\,$ [/mm] genannt, durch die lineare Abbildung
[mm] $$l_w(v):=v^Tw$$
[/mm]
auf einem dreidimensionalen euklidischen Raum repräsentieren kann."
Mir ist klar, dass dann $w [mm] \mapsto l_w$ [/mm] injektiv ist, und damit auch, wenn man die Abbildung zwischen [mm] $V\,$ [/mm] und dem Dualraum betrachtet, surjektiv. Oder?
Kann man dann nicht jeden Vektor mit einem Tensor der Stufe 1 identifizieren und umgekehrt? Sofern [mm] $l_w$ [/mm] doch der Tensor ist?
Ich muss ehrlich gestehen, dass mir bislang echt total der Durchblick fehlt, und ich aber auch noch nichts vernünftiges gefunden habe, um mich ordentlich diesbezüglich einzuarbeiten, so dass mit der Tensorbegriff klar wird. Hat jemand dazu vielleicht gute Tipps oder Ideen? Denn jedes mal, wenn ich glaube, etwas davon verstanden zu haben, merke ich, dass mir nur eines klar bleibt:
Tensoren sollen unter anderem dazu dienlich sein, physikalische Sachverhalte unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems zu beschreiben.
Das ist mir aber mathematisch nicht greifbar genug, denn damit kann ich nichts "beschreiben" bzw. danach auch "rechnen".
Naja, vielleicht dauerts auch einfach nur noch eine (wohl nicht ganz kurze) Zeit, bis ich da mehr durchblicke...
Wäre super, wenn jemand gute (motivierende) Links hätte, wo Tensoren mathematisch eingeführt und nach und nach die Eigenschaften, die Physiker gerne von ihnen hätten, bewiesen werden...
Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Fr 22.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Tensor - Definition
> Hallo zusammen,
>
> momentan würde ich mich gerne nebenher mit Tensoren und
> deren Eigenschaften beschäftigen, weil sie in manchen
> Gebieten der Physik wohl immer gerne herangezogen werden.
>
> Mein Problem fängt allerdings schon bei der Definition
> an:
> Tensoren bestehen aus Komponenten, die auf eine gewisse
> Art und Weise durchnummeriert/durchlaufen werden. Und ein
> Tensor ist anscheinend eine multilineare Abbildung in den
> zugehörigen Körper. Zumindest verstehe ich die mir bisher
> angesehenen Definitionen so.
Das ist in der Tat so.
http://de.wikipedia.org/wiki/Tensor
>
> Mir sind dabei einige Sachen aber schon bei "einfachen
> Tensoren" unklar, so dass ich denke, dass ich wohl die
> Definition eines Tensors nicht ganz begriffen habe. Denn
> zum einen frage ich mich, ob man nun Tensoren und Vektoren
> (jedenfalls der Stufe 1) miteinander identifizieren kann.
> Anscheinend ist das aber nicht so, da es wohl Vektoren
> gibt, die keine Tensoren sind. Aber gilt umgekehrtes? Kann
> man jeden Tensor mit einem Vektor identifizieren?
Wenn ich das aus meiner Vorlesung richtig in Erinnerung habe, ja.
>
> Zum anderen: Was unterscheidet nun Tensoren der Stufe 1 von
> den linearen Abbildungen des Dualraums?
>
> Anscheinend möchte man gewisse Invarianzen unter gewissen
> Transformationen haben. Mir ist nicht ganz klar, wofür man
> da überhaupt Tensoren der Stufe 1 hernimmt.
> Gefühlsmäßig hätte ich diese "physikalischen
> Vektorpfeile" halt, wenn sie gleich lang sind und in die
> gleiche Richtung weisen, in Äquivalenzklassen unterteilt
> und dann auf der Menge der Äquivalenzklassen gearbeitet.
>
> Ich glaube, meine zwei größten Probleme zur Zeit sind:
> Ich habe bislang noch keine sinnvolle, ausführliche
> physikalische Motivation gefunden, die den Begriff des
> Tensors motiviert.
>
> Und: Mir fehlt eine ausführliche und verständliche
> Definition des mathematischen Begriffs des Tensors.
Ich vermute, wenn du eine schöne Veranschaulichung eines Tensors finden würdest, wären dir einige mathematische Preise sicher.
Tensoren sind in der Tat schwer zu fassen.
>
> Ich habe zum Bsp. gelesen, dass man
> "Einen Tensor der Stufe 1, im Folgenden [mm]w\,[/mm] genannt, durch
> die lineare Abbildung
> [mm]l_w(v):=v^Tw[/mm]
> auf einem dreidimensionalen euklidischen Raum
> repräsentieren kann."
>
> Mir ist klar, dass dann [mm]w \mapsto l_w[/mm] injektiv ist, und
> damit auch, wenn man die Abbildung zwischen [mm]V\,[/mm] und dem
> Dualraum betrachtet, surjektiv. Oder?
>
> Kann man dann nicht jeden Vektor mit einem Tensor der Stufe
> 1 identifizieren und umgekehrt? Sofern [mm]l_w[/mm] doch der Tensor
> ist?
>
> Ich muss ehrlich gestehen, dass mir bislang echt total der
> Durchblick fehlt, und ich aber auch noch nichts
> vernünftiges gefunden habe, um mich ordentlich
> diesbezüglich einzuarbeiten, so dass mit der Tensorbegriff
> klar wird. Hat jemand dazu vielleicht gute Tipps oder
> Ideen? Denn jedes mal, wenn ich glaube, etwas davon
> verstanden zu haben, merke ich, dass mir nur eines klar
> bleibt:
> Tensoren sollen unter anderem dazu dienlich sein,
> physikalische Sachverhalte unabhängig von der Wahl des
> Koordinatensystems zu beschreiben.
Darum geht es, in der Tat. Aber wie schon gesagt, man kann sie extrem schwer "fassen". Wichtig ist, dass man die universelle Eingenschaft halbwegs in den Griff bekommt, das war zumindest die Aussage meines Dozenten.
>
> Das ist mir aber mathematisch nicht greifbar genug, denn
> damit kann ich nichts "beschreiben" bzw. danach auch
> "rechnen".
Das geht nicht nur dir so.
>
> Naja, vielleicht dauerts auch einfach nur noch eine (wohl
> nicht ganz kurze) Zeit, bis ich da mehr durchblicke...
>
> Wäre super, wenn jemand gute (motivierende) Links hätte,
> wo Tensoren mathematisch eingeführt und nach und nach die
> Eigenschaften, die Physiker gerne von ihnen hätten,
> bewiesen werden...
>
Die habe ich gerade nicht, daher lasse ich die Frage mal offen.
> Grüße,
> Marcel
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Fr 22.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Marcel,
> Tensor - Definition
> Hallo zusammen,
>
> momentan würde ich mich gerne nebenher mit Tensoren und
> deren Eigenschaften beschäftigen, weil sie in manchen
> Gebieten der Physik wohl immer gerne herangezogen werden.
>
> Mein Problem fängt allerdings schon bei der Definition
> an:
> Tensoren bestehen aus Komponenten, die auf eine gewisse
> Art und Weise durchnummeriert/durchlaufen werden. Und ein
> Tensor ist anscheinend eine multilineare Abbildung in den
> zugehörigen Körper. Zumindest verstehe ich die mir bisher
> angesehenen Definitionen so.
Da bist Du, so scheint es, zwischen die Mühlen von Mathematik und Physik
geraten. Tensoren sind ein Beispiel für folgende Anekdote:
Physiker stoßen auf ein Problem und erhoffen sich Hilfe von Mathematikern.
Mathematiker nehmen sich des Problems an, lösen es, stellen dafür ein
System aus Axiomen, Sätzen und Folgerungen auf, bearbeiten sämtliche
Spezialfälle, Erweiterungen und Einschränkungen, finden andere Gebiete,
auf die sich ihre Theorie anwenden lassen, und bearbeiten ihre Theorie
solange, bis sie in die überige Mathematik passt. Dann stellen sie diese
Theorie den Physikern vor. Und die Physiker erkennen ihr Problem darin
nicht wieder, ... und arbeiten mit ihren altbewährten Methoden weiter.
>
> Mir sind dabei einige Sachen aber schon bei "einfachen
> Tensoren" unklar, so dass ich denke, dass ich wohl die
> Definition eines Tensors nicht ganz begriffen habe. Denn
> zum einen frage ich mich, ob man nun Tensoren und Vektoren
> (jedenfalls der Stufe 1) miteinander identifizieren kann.
> Anscheinend ist das aber nicht so, da es wohl Vektoren
> gibt, die keine Tensoren sind. Aber gilt umgekehrtes? Kann
> man jeden Tensor mit einem Vektor identifizieren?
>
> Zum anderen: Was unterscheidet nun Tensoren der Stufe 1 von
> den linearen Abbildungen des Dualraums?
>
> Anscheinend möchte man gewisse Invarianzen unter gewissen
> Transformationen haben. Mir ist nicht ganz klar, wofür man
> da überhaupt Tensoren der Stufe 1 hernimmt.
> Gefühlsmäßig hätte ich diese "physikalischen
> Vektorpfeile" halt, wenn sie gleich lang sind und in die
> gleiche Richtung weisen, in Äquivalenzklassen unterteilt
> und dann auf der Menge der Äquivalenzklassen gearbeitet.
>
> Ich glaube, meine zwei größten Probleme zur Zeit sind:
> Ich habe bislang noch keine sinnvolle, ausführliche
> physikalische Motivation gefunden, die den Begriff des
> Tensors motiviert.
>
> Und: Mir fehlt eine ausführliche und verständliche
> Definition des mathematischen Begriffs des Tensors.
Für die mathematische Seite, empfielt sich ein Buch / Vorlesung über
Multlineare Algebra:
![[]](/images/popup.gif) Uni Sarbrücken Teil von Lineare Algebra II
Uni Regensburg Handout
Multlineare Algebra
Für eine mehr anwendungsorientierte Einführung:
Uni Stuttgart Tensorrechnung für Technische Mechanik
Uni Dresden Technische Mechanik S. 25 - 48
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> Ich habe zum Bsp. gelesen, dass man
> "Einen Tensor der Stufe 1, im Folgenden [mm]w\,[/mm] genannt, durch
> die lineare Abbildung
> [mm]l_w(v):=v^Tw[/mm]
> auf einem dreidimensionalen euklidischen Raum
> repräsentieren kann."
>
> Mir ist klar, dass dann [mm]w \mapsto l_w[/mm] injektiv ist, und
> damit auch, wenn man die Abbildung zwischen [mm]V\,[/mm] und dem
> Dualraum betrachtet, surjektiv. Oder?
>
> Kann man dann nicht jeden Vektor mit einem Tensor der Stufe
> 1 identifizieren und umgekehrt? Sofern [mm]l_w[/mm] doch der Tensor
> ist?
>
> Ich muss ehrlich gestehen, dass mir bislang echt total der
> Durchblick fehlt, und ich aber auch noch nichts
> vernünftiges gefunden habe, um mich ordentlich
> diesbezüglich einzuarbeiten, so dass mit der Tensorbegriff
> klar wird. Hat jemand dazu vielleicht gute Tipps oder
> Ideen? Denn jedes mal, wenn ich glaube, etwas davon
> verstanden zu haben, merke ich, dass mir nur eines klar
> bleibt:
> Tensoren sollen unter anderem dazu dienlich sein,
> physikalische Sachverhalte unabhängig von der Wahl des
> Koordinatensystems zu beschreiben.
>
> Das ist mir aber mathematisch nicht greifbar genug, denn
> damit kann ich nichts "beschreiben" bzw. danach auch
> "rechnen".
>
> Naja, vielleicht dauerts auch einfach nur noch eine (wohl
> nicht ganz kurze) Zeit, bis ich da mehr durchblicke...
>
> Wäre super, wenn jemand gute (motivierende) Links hätte,
> wo Tensoren mathematisch eingeführt und nach und nach die
> Eigenschaften, die Physiker gerne von ihnen hätten,
> bewiesen werden...
Beispiele für Tensoren:
Spannungstensor
Energie-Impuls-Tensor
Metrischer Tensor
Riemannscher Krümmungstensor
Levi-Civita-Symbol (Epsilon-Tensor)
Feldstärketensor
Interessant ist vielleicht auch die Indexnotation von Tensoren
und Einsteinsche Summenkonvention.
>
> Grüße,
> Marcel
Gruß
meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Josef |
Hallo Marcel,
> Tensor - Definition
"Tensor
[lateinisch] der, Mathematik, Physik: Verallgemeinerung des Vektorbegriffs, die v. a. in der Differenzialgeometrie und der theoretischen Physik (z. B. Spannungstensor, Trägheitstensor, Fundamentaltensor) verwendet wird. Während der Vektor (Tensor 1. Stufe) als einfachstes Beispiel eines Tensors gelten kann, gelangt man zur nächsthöheren Stufe von Tensoren bei Betrachtung linearer Vektorfunktionen. Mithilfe von Tensoren formulierte Gleichungen sind in jedem Koordinatensystem richtig."
Quelle: Der Brockhaus; (c) wissenmedia GmbH, 2010
Viele Grüße
Josef
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Was sind Tensoren ?
Tensoren sind Matrizen mit gewissen besonderen Eigenschaften, was die mit ihnen bewerkstelligten Transformationen betrifft. Die wichtigste dieser Eigenschaften ist die, dass man mit Tensoren eine vom jeweiligen Koordinatensystem unabhängige Beschreibung geometrischer und physikalischer Zusammenhänge erreichen kann. Die ersten wichtigen Anwendungen von Tensoren fanden in der theoretischen Physik des 19. Jahrhunderts statt, wo es z.B. um die Beschreibung der Spannungszustände in Festkörpern (z.B. Kristallen) ging. Bei der mathematischen Beschreibung der Wechselwirkungen in elektromagnetischen Feldern wurden eigentlich Tensoren verwendet, obwohl sie damals noch nicht so genannt wurden. Mathematiker benützten zur Beschreibung gekrümmter Flächen und Räume Konzepte, die dann später mit dem Tensorbegriff elegant beschrieben werden konnten. Der wahre Welterfolg der Tensorrechnung wurde von Einstein (und den Mathematikern, mit denen er korrespondierte) in der allgemeinen Relativitätstheorie begründet, welche eine eigentliche Geometrisierung der Gravitation und der mit ihr wechselwirkenden Raumzeit darstellt.
Ohne das mathematische Hilfsmittel der Tensoren wäre Einsteins wichtigste Idee ein unbrauchbares Hirngespinst geblieben. Auch weitere Konzepte der theoretischen Physik bauen auf dem Tensorkonzept auf. Es wäre schwierig, sich vorzustellen, was alles wir aus unserer Welt des 21. Jahrhundert wegdenken müssten, wäre Tensormathematik nie entwickelt worden.
Nun ist die Tensormathematik, da sie vor allem in höherdimensionalen Räumen erst ihre volle Kraft entwickelt, leider einem anschaulichen Zugang nicht ausgesprochen hold.
Ich habe nun aber doch einen Text gefunden, in dem (in Abschnitt 3 , "Beispiele und Übungen") der Tensorbegriff an einfachen und auch anschaulichen Beispielen sehr schön dargestellt wird:
Petry (mit Übungen und Lösungen !)
Von dort aus sind auch weitere PDFs zu Tensoren, Relativitätstheorie etc. zu finden, wenn man dem ersten Link zu einer PDF-Version folgt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo an alle,
erstmal möchte ich Euch allen Danken; insbesondere für die vielen Hinweise und vielen Links.
Es ist übrigens in der Tat so, dass ich in die Mühlen zwischen Mathematik und Physik geraten bin, denn ich arbeite momentan quasi interdisziplinär und versuche auch, viele Dinge, die meine Arbeitskollegen machen, mitzuverfolgen. Daher bin ich erstmal auf diesen Begriff gestoßen und dachte mir, dass ich mich ein wenig selbst mit dem Gebiet der Tensoralgebra / Tensoranalysis etc. befasse. Aber während man auf anderen Gebieten wenigstens gefühlsmäßig einen Einstieg findet, hatten mich die verschiedenen Quellen meist mehr verwirrt als geholfen.
Leider bin ich auch in der Differentialgeometrie nicht ausgebildet, aber wenigstens ein paar Dinge aus diesem Gebiet habe ich mittlerweile verstanden. Auch das war ein kleiner K(r)ampf ^^
Ich werde mir jedenfalls Mühe geben, mich in meiner Freizeit ein wenig mehr mit diesem Gebiet zu befassen. Vielleicht werde ich's ja doch, wenn ich mich nur lange genug damit befasst habe, irgendwann besser erfassen (im Sinne von verstehen) können. Aber das scheint doch wirklich ein nicht ganz einfaches Gebiet zu sein.
Vielen Dank jedenfalls erstmal, jetzt habe ich jedenfalls einiges mehr zur Auswahl,woran ich mich evtl. orientieren kann!
Viele Grüße,
Marcel
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