Wendepunkte < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Sa 18.08.2007 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | | f(x) = [mm] x^5 [/mm] - [mm] kx^3 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll eine Kurvendiskussion machen. Ich komme darauf das die Wendepunkte bei [mm] \wurzel{3k/10} [/mm] liegen sollen.
Anschaulich gibt es einen Sattelpunkt bei (0|0) bei k=0
Wenn ich jedoch K = 0 setze erhalte ich in der 3. Ableitung das sie 0 ist, was ja nicht sein kann.
Ich habe anschaulich herausgefunden das für k = 2 ein WP bei ca. 1 vorliegt.
Wenn ich k = 2 einsetze erhalte ich tatsächlich f(x) = 1,18
Wo liegt also mein Denkfehler beim einsetzen in die 3. Ableitung?
[mm] 60*\wurzel{3*0/10} [/mm] - 6*0 = 0
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gibt insgesamt 3 Wendepunkte, wenn k nicht 0 ist.
[mm] x_{W1}=\bruch{\wurzel{30k}}{10}
[/mm]
[mm] x_{W2}=-\bruch{\wurzel{30k}}{10}
[/mm]
[mm] x_{W3}=0
[/mm]
Wenn k=0 ist, gibt es eben nur einen Wendepunkt (Sattelpunkt), weil ja [mm] x_{W1} [/mm] und [mm] x_{W2} [/mm] auch 0 sind. Ich glaube das kannst du auch nur erst einmal optisch machen. DU hast recht, dass die 3. Ableitung auch 0 ist, aber dennoch besagt das Schaubild von [mm] f(x)=x^5, [/mm] dass bei O(0|0) ein Wendepunkt vorliegt.
Könnte jemand vielleicht noch ausführlicher erklären :P Aber ich würde behaupten, dass es zumindest bei ganzrationalen Funktionen ausreicht, wenn man nach einem Sattelpunkt sucht, die 1. und 2. Ableitung zu betrachten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Sa 18.08.2007 | | Autor: | moody |
Erstmal danke für deine antwort
> [mm]x_{W3}=0[/mm]
wieso der?
ausserdembezieht sich das nur auf k > 0 weil sonst der radikant neg. wäre bei k < 0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Teufel |
Jo, bei k<0 gibt es nur den Sattelpunkt.
[mm] f''(x)=20x^3-6kx=x(20x²-6k)=0
[/mm]
Und wenn x(20x²-6k)=0 sein soll, muss x=0 sein, oder (20x²-6k), also einer von beiden Faktoren. Daher kommt das x=0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 19.08.2007 | | Autor: | moody |
du meinst k>0 oder?
diese 3. lösung hätte ich einfach übersehen ô0
danke
|
|
|
| |
|
Hallo,
für k>0 hat f´´(x)=0 drei Lösungen, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 19.08.2007 | | Autor: | moody |
Bei der Funktion dürfte klar sein, dass alle Wendepunkte im Punkt 0|0 liegen.
Wenn der X-Wert eines Wendepunktes [mm] \wurzel{3*k / 10} [/mm] lautet. Müsste er ja für K > 0 0 sein. Und in f(x) eingesetzt müsste doch auch 0 rauskommen, oder?
Rechenbeispiel:
K = 3
demnach ist x = [mm] \wurzel{3*3 / 10} [/mm] = 0.94...
Dh. der X-Wert läge bei 0.94.
In die Funktion einsetzen:
[mm] 0.94^5 [/mm] - [mm] 3*0.94^3 [/mm] = -1.75...
Also läge der WP für K = 3 bei (0.94|-1.75)
Aber anschaulich dürfte wohl klar sein, dass der WP bei (0|0) liegen muss.
Was mache ich falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo,
für Dein Fall k=3 lautet:
[mm] f(x)=x^{5}-3x^{3}
[/mm]
[mm] f'(x)=5x^{4}-9x^{2}
[/mm]
[mm] f''(x)=20x^{3}-18x
[/mm]
die 2. Ableitung Null setzen
[mm] 0=20x^{3}-18x
[/mm]
[mm] 0=x(20x^{2}-18)
[/mm]
ein Produkt wird zu Null, wenn einer der Faktoren zu Null wird:
1. Möglichkeit x=0 somit 1. Lösung [mm] x_1=0
[/mm]
2. Möglichkeit: [mm] 20x^{2}-18=0 [/mm] über p-q-Formel 2. und 3. Lösung [mm] x_2=\wurzel{\bruch{9}{10}} [/mm] und [mm] x_3=-\wurzel{\bruch{9}{10}}
[/mm]
es liegen also DREI Wendepunkte vor, wenn Du die drei Stellen noch in f(x) einsetzt, so hast Du die entsprechenden Punkte berechnet.
Wenn k<0 ist, so liegt nur ein Wendepunkt vor.
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo moody!
Es wäre auch sehr hilfreich, wenn Du uns Deine Ableitungen mitposten würdest.
Für die 3. Ableitung [mm] $f_k'''(x) [/mm] \ = \ [mm] 60x^2-6k$ [/mm] erhalte ich für den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ :
[mm] $f_k'''(0) [/mm] \ = \ [mm] 60*0^2-6*k [/mm] \ = \ -6k$
Für $k \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ ist dieser Wert also ungleich Null.
Für $k \ = \ 0$ ist das hinreichende Kriterium mit der 3. Ableitung nicht aussagefähig, und Du musst z.B. das Kriterium des Vorzeichenwechsels bei der 2. Ableitung [mm] $f_0''(x)$ [/mm] heranziehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 18.08.2007 | | Autor: | moody |
> Für [mm]k \ = \ 0[/mm] ist das hinreichende Kriterium mit der 3.
> Ableitung nicht aussagefähig, und Du musst z.B. das
> Kriterium des Vorzeichenwechsels bei der 2. Ableitung
> [mm]f_0''(x)[/mm] heranziehen.
Wieso an der 2. Ableitung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Teufel |
Nehmen wir mal die Funktion f(x)=x³.
Von der weiß du, dass sie bei x=0 einen Sattelpunkt hat.
Die erste Ableitung ist f'(x)=3x², sieht also aus wie eine gestreckte Normalparabel.
Und die 2. Ableitung ist f''(x)=6x, also eine lineare Funktion, die durch O(0|0) geht. Links von 0 ist ihr Wert kleiner als 0 (f(-1)=-6) und rechts davon größer als 0 (f(1)=1).
Das ist das Vorzeichenkriterium hier. Und das kannst du bei allen Sattelpunkten so machen, wenn du verwirrt bist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 19.08.2007 | | Autor: | moody |
Welcher Zusammenhang besteht denn zwischen der 2. und 3. ABleitung bzw. des VZWs und des ungleich 0 seiens.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 So 19.08.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
Dort wo die zweite Ableitung 0 ist, befinden sich die Wendepunkte des Graphen, aber nur wenn gleichzeitig die dritte Ableitung ungleich 0 ist.
An dieser Stelle ändert der Graph seine Steigung von positiv zu negativ oder andersherum. Deshalb der VZW der ersten Ableitung an dieser Stelle.
Ist die zweite Ableitung 0, die dritte Ableitung auch wieder ungleich 0 und zusätzlich die erste Ableitung 0 dann befindet sich dort ein Terassenpunkt.
Gruß,
clwoe
|
|
|
|
