Wendepunkte Fkt. Bestimmung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Summe zweier Zahlen beträgt 30. Bestimmen Sie die beiden Zahlen so, dass die Summe ihrer Quasrate ein Minimum ergibt. Die Existenz des Minimums ist nachzuweisen.Das Minimum ist anzugeben. Die Ränder des Definitionsbereich müssen nicht untersucht werden. |
Ich weiß nun überhaupt nicht wie ich da vorgehen muss.
[mm] x_{1}+x_{2}=30
[/mm]
[mm] x_{1}{^{2}}+x_{2}{^{2}}= [/mm] Minimum
aber ich weiß nicht wie ich es angehn soll. ich hab wirklich garkeine ahnung. ich bitte um hilfe
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Huhu,
deine Gleichungen sind erstmal korrekt 
Nun forme die erste Gleichung dochmal nach einer Variablen um und setze in die zweite ein.
Schon hast du eine quadratische Funktion, von der du mit dir bekannten Mitteln das Minimum bestimmen kannst
MFG,
Gono.
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ok, dan nehmen wir,
[mm] x_{1}=30-x_{2}
[/mm]
eingesetzt bekommt man
[mm] x^{2}{_{2}}+30-x_{2}=Minimum
[/mm]
und nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Di 07.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo haxenpeter!
> ok, dan nehmen wir,
>
> [mm]x_{1}=30-x_{2}[/mm]
>
> eingesetzt bekommt man
>
> [mm]x^{2}{_{2}}+30-x_{2}=Minimum[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dies muss heißen:
[mm]f(x_2) \ = \ x_2^2+\left(30-x_2\right)^2[/mm]
Für diese Funktion [mm]f(x_2)[/mm] musst Du nun eine Extremwertberechnung durchführen; d.h. die Nullstellen der 1. Ableitung [mm]f'(x_2)[/mm] bestimmen etc.
Gruß
Loddar
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ok.
[mm] (30-x_{2})^{2} [/mm] ist ja eine binomische formel, kann ich die dann nicht ausschreiben?
zu: [mm] x_{2}^{2}+900+60x_{2}-x_{2}^{2}
[/mm]
dann bliebe : [mm] 900+60x_{2}
[/mm]
dann wäre die ableitung doch nur 60.. oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Di 07.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo haxenpeter!
Binomische Formel war schon die richtige Idee ... leider falsch umgesetzt.
Es gilt:
[mm](30-x)^2 \ = \ 30^2 \ \red{-} \ 2*30*x \ \red{+} \ x^2 \ = \ 900 \ \red{-} \ 60x \ \red{+} \ x^2[/mm]
Damit ergibt sich auch für die Gesamtfunktion bzw. die Ableitung ein anderer Term.
Gruß
Loddar
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Also ich weiß wirklich nicht wie man bei solchen aufgaben vorgeht, hab auch im netz kein allg. lösungsweg gefunden. machen wir mal weiter wo wir waren.
[mm] f(x_{2})=x^{2}+900-60x+x^{2}
[/mm]
[mm] =2x^{2}+900-60x
[/mm]
[mm] f^{|}(x_{2})=4x-60
[/mm]
[mm] x_{2}=15 [/mm] ????
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Hallo, [mm] x_2=15 [/mm] ist eine Extremstelle, über die 2. Ableitung bestimmst du die Art, es liegt ein Minimum vor, aus [mm] x_1=30-x_2 [/mm] folgt [mm] x_1=15, [/mm]
jetzt kannst du für dich ja mal rechnen
15+15=30 somit [mm] 15^{2}+15^{2}= [/mm] ....
oder
17+13=30 somit [mm] 17^{2}+13^{2}= [/mm] ....
oder
21+9=30 somit [mm] 21^{2}+9^{2}= [/mm] ....
es gibt einen allgemeinen Lösungsweg, Funktion aufstellen, Extremwertbetrachtung durchführen, es hat sicherlich nicht viel Sinn, für jede Aufgabe einen allgemeinen Lösungsweg auswendig zu lernen, erkenne den Sinn einer Aufgabe und überlege dir eine Lösungstrategie,
Steffi
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ah ok, also ist die lösung [mm] 15^{2}+15^{2}=150, [/mm] 150 ist das minimum, denn mit den andere zb. [mm] 17^{2}+13^{2} [/mm] kann ich nachweisen das das höher liegt. somit ist 150 das minimum und jeweils 15 die richtige lösung?! hab ich das so richtig verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo haxenpeter!
Ja, das hast Du so richtig verstanden.
Der Nachweis, dass es es sich hier wirklich um ein inimum handelt, erfolgt normalerweise aber über die 2. Ableitung (hinreichendes Kriterium).
Gruß
Loddar
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die zweite ableitung wäre doch dann
[mm] f^{|}(x_{2})=4x-60 [/mm]
[mm] f^{||}(x_{2})=4
[/mm]
und was fange ich dann mit dieser aussage an.
da steh ich gerade wieder einwenig auf dem schlauch.
In diesem fall läuft das aber nicht über die 2te ableitung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo haxenpeter!
Als Student wirst Du mir doch nicht erzählen wollen, dass Du noch nie etwas über notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Bestimmung von Extrema gehört hast ...
Wenn die 2. Ableitung an der betreffenden Stelle [mm]x_0[/mm] (mit [mm]f'(x_0) \ = \ 0[/mm] ) größer ist als Null, handelt es sich bei diesem [mm]x_0[/mm]-Wert um ein relatives Minimum.
Gruß
Loddar
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ich geb es ja zu, extremwertaufgaben waren noch nie mein freund gewesen, auch nicht im abi.
ok,
da meine 2te ableitung von [mm] f^{|}(x_{2})=4x-60 [/mm]
gleich
[mm] f^{||}(x_{2})=4 [/mm] ist, ist an der stelle ein minimum, da es größer als Null ist. wäre es kleiner als null, so wäre es ein maximum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Di 07.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Was hat diese Aufgabe eigentlich mit Wendepunkten (wie in Deiner Überschrift erwähnt) zu tun? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Di 07.09.2010 | | Autor: | haxenpeter |
oh garnichts, ich wollt noch eine 2te aufgabe mit wendepunkten reinstellen, da ist mir wohl was schiefgelaufen
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