Wertbestimmung einer Variable < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:56 So 08.12.2013 | | Autor: | Wergez |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] fk(x)=\bruch{-1}{k}*x^{4}+k [/mm] für k > 0
Bestimme einen Wert für k, sodass die Fläche zwischen dem Graphen und oberhalb der x-Achse [mm] 8*\wurzel{5} [/mm] entspricht. |
Hallo community!
Dies ist meine Aufgabe, die ich zu lösen versucht habe. Die Funktion ist ein umgedrehtes U deren Nullstellen (welche wichtig für die Grenzen sind) von k abhängen. Als erstes habe ich versucht die Gleichung F(x)=0 zu setzen und bekam [mm] x^4=k^2 [/mm] raus.
Dann habe ich das Integral versucht zu bestimmen. Leider ist mir nicht klar, wie ich das angehen muss und welche Grenzen ich einzusetzen habe. (-x) und (x)?
Für Hilfe bezüglich einer Erarbeitung der Frage, bin ich dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, zunächst sind die Nullstellen der Funktion zu ermitteln
[mm] 0=-\bruch{1}{k}*x^4+k
[/mm]
[mm] x^4=k^2 [/mm] (hast du)
du bekommst die zwei Nullstellen, die gleichzeitig die Integrationsgrenzen sind, setze dein Integral gleich [mm] 8*\wurzel{5}, [/mm] jetzt kann k berechnet werden, dein Ziel ist k=5
Steffi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 So 08.12.2013 | | Autor: | Wergez |
Danke für deine schnelle Hilfe. Als Grenzen setze ich also [mm] -x^2-k [/mm] und [mm] x^2-k [/mm] ein.
Wie behandele ich k in der Integration? Als Konstante würde ich meinen, nur bin mir unsicher ob dann die integrierte Funktion [mm] log(-k)*(1/5)*x^5+kx [/mm] ist oder ob ich mich verrechnet habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 So 08.12.2013 | | Autor: | Wergez |
Danke für die Korrektur. Leider komme ich auf nichts schlüssiges bei der Grenzeinsetzung.
[mm] -\bruch{k^5}{5k}+k^2+\bruch{-k^5}{5k}-k^2
[/mm]
Nachher soll ich die 8. Wurzel ziehen und das kann nicht sein.
mein nächster Zwischenschritt war
[mm] \bruch{-k^5}{5k}-\bruch{k^5}{5k}
[/mm]
und dann das k im Nenner kürzen.
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Hallo, die Nullstellen sind [mm] \pm\wurzel{k}
[/mm]
zu lösen ist also
[mm] \integral_{-\wurzel{k}}^{\wurzel{k}}{-\bruch{1}{k}x^4+k dx}=8*\wurzel{5}
[/mm]
die Stammfunktion lautet [mm] -\bruch{1}{5k}x^5+kx
[/mm]
die Grenzen eingesetzt
[mm] -\bruch{1}{5k}*k^2*\wurzel{k}+k*\wurzel{k}-\bruch{1}{5k}*k^2*\wurzel{k}+k*\wurzel{k}=8*\wurzel{5}
[/mm]
nun bist du dran (nix 8. Wurzel)
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 So 08.12.2013 | | Autor: | dino02 |
Wieso seit ihr so schlau? bitte ich brauch dringend eine antwort für meine frage!
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Hallo Wergez,
es ist nicht Sinn und Zweck hier im Matheraum alles vorzurechnen, doch weil heute der 2. Advent ist und ich guter Laune bin, möchte ich das ganze einmal etwas ausführlich zeigen. Bitte lies die Antwort sehr genau und frage nach, wenn es Unklarheiten gibt. Andernfalls macht es keinen Sinn...
Schritt 1:
Mach dir doch erst einmal ein Bild von der Funktion! Wie sieht das Ding eigentlich aus? Was soll berechnet werden?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir wissen nun schon einmal, was passiert, wenn man für k unterschiedliche Werte einsetzt.
Wir wollen nun das k so bestimmen, dass die Fläche unter dem Graphen doe Größe [mm] 8\sqrt{5} [/mm] hat.
Schritt 2:
Wir wissen, dass x die Variable ist, und weiter ist ja k irgendeine feste Zahl größer Null.
Nun ist klar:
[mm] A=8\sqrt{5}=\int_{a}^{b}{f_k(x) dx}=\int_{a}^{b}{-\bruch{1}{k}\cdot{}x^{4}+k dx}
[/mm]
Wir müssen uns jetzt Gedanken um die Grenzen machen. Da wir die Fläche über der x-Achse betrachten müssen wir also die Nullstellen von [mm] f_k(x) [/mm] berechnen. Aber jetzt kommts! Man sieht sofort, dass [mm] f_k(x) [/mm] symmetrisch zur Ordinate ist. Daher können wir auch sofort eine Grenze bestimmen: Nehmen wir nämlich a=0. Aber dann ist logischerweise der Flächeninhalt auch nur halb so groß. Man macht diesen kleinen trick, weil es meist dann bei dem Einsetzen der Integralgrenzen in die Stammfunktion ein klein wenig leichter zu rechnen ist. Wir wissen also schon einmal:
[mm] A/2=4\sqrt{5}=\int_{0}^{b}{-\bruch{1}{k}\cdot{}x^{4}+k dx}
[/mm]
Nun bestimmen wir weiter die zweite Integralgrenze: Wir bestimmen die positive Nullstelle:
[mm] 0=f_k(x)=-\bruch{1}{k}\cdot{}x^{4}+k\Rightarrow k^2=x^4\Rightarrow x=\sqrt{k}
[/mm]
Unser Integral geht also in die Form über:
[mm] 4\sqrt{5}=\int_{0}^{\sqrt{k}}{-\bruch{1}{k}\cdot{}x^{4}+k dx}
[/mm]
Schritt 3:
Wir werten das obige Integral aus:
[mm] 4\sqrt{5}=\int_{0}^{\sqrt{k}}{-\bruch{1}{k}\cdot{}x^{4}+k dx}=[-\frac{1}{5k}x^5+kx]^{\sqrt{k}}_0
[/mm]
[mm] =\left(-\frac{k^{5/2}}{5k}+k*\sqrt{k}\right)-0=-\frac{1}{5}k^{3/2}+k^{3/2}=\frac{4}{5}k^{3/2}
[/mm]
Also:
[mm] 4\sqrt{5}=\frac{4}{5}k^{3/2}\Rightarrow \sqrt{5}*5=5^{3/2}=k^{3/2}\Rightarrow [/mm] k=5
Wir haben also k=5.
Schritt 4:
Wir prüfen die Lösung:
[mm] 2*\int_{0}^{\sqrt{5}}{(-\bruch{1}{5}\cdot{}x^{4}+5) dx}=8\sqrt{5}
[/mm]
(man kann dies gerne auch mit dem TR überprüfen)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Di 10.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
warum wurde die Frage als "unbeantwortet" zurückgesetzt?
Die Aufgabe wurde von mir eindeutig gelöst. Ich sehe keinen Grund, die Frage als unbeantwortet zu betrachten.
Liebe Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Di 10.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Richie & Wegerz
> Hallo,
>
> warum wurde die Frage als "unbeantwortet" zurückgesetzt?
>
> Die Aufgabe wurde von mir eindeutig gelöst. Ich sehe
> keinen Grund, die Frage als unbeantwortet zu betrachten.
Das ist ein Feature, welches man einmal an einer geeigneten Stelle besser erklären sollte. Es wird von Neulingen gerne so interpretiert, dass man den Status zurücksetzt um zu signalisieren, dass man mit den bisher gegebenen Antworten noch nicht weiterkommt (und: das soll jetzt ausdrücklich kein Vorwurf sein). Das hat Wegerz auch getan, und es wurde natürlich mittlerweile zurückgesetzt.
@Wegerz: wenn du an einer Stelle nicht weiterweißt, dann stelle direkt am fraglichen Beitrag einen neuen Fragebeitrag ein. Dein Thread ist dann auf jeden Fall auch wieder unter den unbeantworteten Fragen aufgelistet. Das eigenmächtige Zurückstellen des Status ist eigentlich für den Fall vorgesehen, dass eine Antwort die Frage überhaupt nicht trifft. Aber wie gesagt: an dieser Stelle müssen wir ein wenig Selbstkritik üben weildas eigentlich nirgends so richtig erklärt ist. 
Gruß, Diophant
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