diskretes dyn. System < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mo 13.06.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Ich habe die Rekursionsvorschrift [mm] $x_n_+_1:=f(x_n)$ [/mm] mit [mm] $f:X\rightarrow [/mm] X$ ("diskretes dynamisches System"). Die eindeutig rek. definierte Folge [mm] $x_n_+_1:=f(x_n)$ [/mm] mit [mm] $x_0= [/mm] x$ wird als Trajektorie zum Anfangswert [mm] $x\in [/mm] X$ bezeichnet. Der Punkt [mm] $\tilde x\in [/mm] X$ heißt Ruhelage, wenn die zugehörige Trajektorie konstant ist, also wenn [mm] $x_n=\tilde [/mm] x$ für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt.
(a) Sei nun [mm] $\(X:=[a,b]$ [/mm] ein Intervall und sei f stetig. Zeigen sie, dass das zugehörige System [mm] $x_n_+_1:=f(x_n)$ [/mm] mindestens eine Ruhelage besizt.
(b) Sei nun [mm] $\(X:=[0,1]$ [/mm] und f stetig mit $f(0)=f(1)=0$ und [mm] $f\left(\bruch{1}{2}\right)=1$ [/mm] Ferner sei f monoton steigend auf [mm] $[0,\bruch{1}{2}]$. [/mm] Zeigen sie, dass das zugehörige System [mm] $x_n_+_1:=f(x_n)$ [/mm] einen Punkt der Periode 2 besitzt, d.h. es ex. ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit $(f [mm] \circ [/mm] f)(x)=x$ und [mm] $f(x)\ne [/mm] x$ |
Schönen Pfingstmontag an alle :)
Zur (a):
Für die Ruhelage des Systems muss doch gelten: $f(x)=x$. Es gilt also zu zeigen,dass es für jede Funktion, die dieser Bedingung entspricht, mind. ein [mm] $\tilde x\in[a,b]$ [/mm] geben muss mit [mm] $f(\tilde x)=\tilde [/mm] x$.
Dies erreicht man dadurch, dass man zeigt, dass solche Funktionen die Winkelhalbierende schneiden müssen.
Dazu verwende ich den den Zwischenwertsatz:
Sei nun o.B.d.A $a<b$ und
$g(x):=f(x)-x$, so folgt:
[mm] 1.$g(a)=f(a)-a\ge [/mm] 0$
[mm] 2.$g(b)=f(b)-b\le [/mm] 0$
Der Zwischenwertsatz sagt nun, dass ein [mm] $\xi$ [/mm] ex. mit [mm] $g(\xi)=0$
[/mm]
Für uns bedeutet das:
[mm] $g(\xi)=0\gdw f(\xi)-\xi=0\gdw f(\xi)=\xi$.
[/mm]
Wähle [mm] $x_0=\xi$ [/mm] so stellt dies einen Ruhepunkt des Systems dar.
q.e.d
Das müsste soweit stimmen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Di 14.06.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ich habe die Rekursionsvorschrift [mm]x_n_+_1:=f(x_n)[/mm] mit
> [mm]f:X\rightarrow X[/mm] ("diskretes dynamisches System"). Die
> eindeutig rek. definierte Folge [mm]x_n_+_1:=f(x_n)[/mm] mit [mm]x_0= x[/mm]
> wird als Trajektorie zum Anfangswert [mm]x\in X[/mm] bezeichnet. Der
> Punkt [mm]\tilde x\in X[/mm] heißt Ruhelage, wenn die zugehörige
> Trajektorie konstant ist, also wenn [mm]x_n=\tilde x[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
>
> (a) Sei nun [mm]\(X:=[a,b][/mm] ein Intervall und sei f stetig.
> Zeigen sie, dass das zugehörige System [mm]x_n_+_1:=f(x_n)[/mm]
> mindestens eine Ruhelage besizt.
>
> (b) Sei nun [mm]\(X:=[0,1][/mm] und f stetig mit [mm]f(0)=f(1)=0[/mm] und
> [mm]f\left(\bruch{1}{2}\right)=1[/mm] Ferner sei f monoton steigend
> auf [mm][0,\bruch{1}{2}][/mm]. Zeigen sie, dass das zugehörige
> System [mm]x_n_+_1:=f(x_n)[/mm] einen Punkt der Periode 2 besitzt,
> d.h. es ex. ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm](f \circ f)(x)=x[/mm] und [mm]f(x)\ne x[/mm]
>
>
>
>
> Schönen Pfingstmontag an alle :)
>
>
> Zur (a):
>
> Für die Ruhelage des Systems muss doch gelten: [mm]f(x)=x[/mm]. Es
> gilt also zu zeigen,dass es für jede Funktion, die dieser
> Bedingung entspricht, mind. ein [mm]\tilde x\in[a,b][/mm] geben muss
> mit [mm]f(\tilde x)=\tilde x[/mm].
>
> Dies erreicht man dadurch, dass man zeigt, dass solche
> Funktionen die Winkelhalbierende schneiden müssen.
>
> Dazu verwende ich den den Zwischenwertsatz:
>
> Sei nun o.B.d.A [mm]a
>
> [mm]g(x):=f(x)-x[/mm], so folgt:
>
> 1.[mm]g(a)=f(a)-a\ge 0[/mm]
> 2.[mm]g(b)=f(b)-b\le 0[/mm]
Vielleicht hier noch die banale Bemerkung, dass g wie definiert stetig ist.
>
> Der Zwischenwertsatz sagt nun, dass ein [mm]\xi[/mm] ex. mit
> [mm]g(\xi)=0[/mm]
> Für uns bedeutet das:
> [mm]g(\xi)=0\gdw f(\xi)-\xi=0\gdw f(\xi)=\xi[/mm].
>
> Wähle [mm]x_0=\xi[/mm] so stellt dies einen Ruhepunkt des Systems
> dar.
>
> q.e.d
>
>
>
> Das müsste soweit stimmen oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Stimmt alles.
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:46 Di 14.06.2011 | | Autor: | nhard |
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 22:01 Di 14.06.2011 | | Autor: | nhard |
meine Idee zur b) wäre:
Es muss gelten:
Es ex. [mm] $c,d\in[a,b]$ [/mm] mit $f(c)=d$ und $f(d)=c$
Das ist doch genau der Fall, wenn beide den gleichen Abstand zur Winkelhalbierenden haben (also der eine Funktionswert an der Winkelhalbierenden "gespiegelt" wird)
Wenn das stimmt muss gelten:
$|f(c)-x|=|f(d)-x|$
Stimmt das? Bzw ist das ein sinnvoller Ansatz?
Wie koennte ich das aber jetzt zeigen?
lg
nhard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mi 15.06.2011 | | Autor: | meili |
Hallo nhard,
> meine Idee zur b) wäre:
>
> Es muss gelten:
>
> Es ex. [mm]c,d\in[a,b][/mm] mit [mm]f(c)=d[/mm] und [mm]f(d)=c[/mm]
Ja, und $c [mm] \not= [/mm] d$.
>
> Das ist doch genau der Fall, wenn beide den gleichen
> Abstand zur Winkelhalbierenden haben (also der eine
> Funktionswert an der Winkelhalbierenden "gespiegelt" wird)
>
> Wenn das stimmt muss gelten:
>
> [mm]|f(c)-x|=|f(d)-x|[/mm]
$=|d-x|=|c-x|$
>
>
>
> Stimmt das? Bzw ist das ein sinnvoller Ansatz?
Ob man damit auf die Lösung kommt, weis ich leider auch nicht.
> Wie koennte ich das aber jetzt zeigen?
Jeder Wert $y [mm] \in [/mm] [0;1)$ kommt als Funktionswert $y = [mm] f(x_1) =f(x_2)$
[/mm]
mindestens zweimal vor mit [mm] $x_1 \in [0;\bruch{1}{2}]$ [/mm] und [mm] $x_2 \in [\bruch{1}{2};1]$ [/mm] ,
da f stetig ist und den weiteren Bedingungen; aber auch dazu weis ich
nicht, wie man das ausnutzen kann.
>
>
> lg
> nhard
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 16.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 16.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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