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endliche Markov-Kette: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 So 25.10.2020
Autor: sync

Hallo zusammen

Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Sei [mm]S= \{0,\dots,n\} [/mm] die Zustände mit Wechselwahrscheinlichkeiten [mm]p_{i,i+1}=p,p_{i,i-1}=q, 1\le i\le n-1[/mm] mit [mm]p+q=1 , 0
Dazu nun einige Fragen:

1. Ist diese Markov Kette Irreduziebel?

Ich würde nein sagen, da wenn ich in [mm]n[/mm] bin nicht mehr andere Zustände erreichen kann. Ebenso hat diese Kette zwei Kommunikationsklassen

2. Welche Perioden haben die Kommunikationsklassen.

Hier bin ich schon etwas unsicher. Klar ist, dass der Zustan [mm]n[/mm] aperiodisch ist, also Periode [mm]1[/mm] hat. Aber die anderen Zustände sind ja transient. Kann man für diese Periodizität überhaupt definieren?

3. Finde die stationäre Verteilung

Für dies habe ich folgende Rekursion aufgeschrieben

[mm]\pi_0 = (1-p)\pi_1[/mm]
[mm]\pi_1 = \pi_0 + (1-p)\pi_2[/mm]
[mm]\pi_i = q\pi_{i+1}+p\pi_{i-1}, 2\le i \le n-1[/mm]
[mm]\sum_i\pi_i = 1[/mm]
Wie kann ich diese Gleichungen lösen? Wäre super, wenn ihr mir sagt, ob ich richtig liege mit 1 und 2, resp ob man Periodizität auch auf transiente Zustände ausweiten kann. Hilfe bei 3 wäre super :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
endliche Markov-Kette: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Fr 30.10.2020
Autor: meili

Hallo sync,

> Hallo zusammen
>  
> Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Sei [mm]S= \{0,\dots,n\}[/mm]
> die Zustände mit Wechselwahrscheinlichkeiten
> [mm]p_{i,i+1}=p,p_{i,i-1}=q, 1\le i\le n-1[/mm] mit [mm]p+q=1 , 0
> Zudem nehmen wir an, dass [mm]p_{0,1}=1,p_{N,N}=1 [/mm].
>  
> Dazu nun einige Fragen:
>  
> 1. Ist diese Markov Kette Irreduziebel?
>
> Ich würde nein sagen, da wenn ich in [mm]n[/mm] bin nicht mehr
> andere Zustände erreichen kann. Ebenso hat diese Kette
> zwei Kommunikationsklassen

[ok]

>  
> 2. Welche Perioden haben die Kommunikationsklassen.
>  
> Hier bin ich schon etwas unsicher. Klar ist, dass der
> Zustan [mm]n[/mm] aperiodisch ist, also Periode [mm]1[/mm] hat. Aber die

[ok]

> anderen Zustände sind ja transient. Kann man für diese
> Periodizität überhaupt definieren?

Ja, da sie transient sind, haben alle dieselbe Periode.
Vom Zustand i, $0 [mm] \le [/mm] i < n$ dauert es minimal 2 Zeiteinheiten bis i wieder erreicht ist,
deshalb ist die Periode in dieser Kommunikationsklasse 2.

>  
> 3. Finde die stationäre Verteilung
>  
> Für dies habe ich folgende Rekursion aufgeschrieben
>  
> [mm]\pi_0 = (1-p)\pi_1[/mm]
>  [mm]\pi_1 = \pi_0 + (1-p)\pi_2[/mm]
>  [mm]\pi_i = q\pi_{i+1}+p\pi_{i-1}, 2\le i \le n-1[/mm]
>  
> [mm]\sum_i\pi_i = 1[/mm]
>  Wie kann ich diese Gleichungen lösen?

Wegen [mm] $p_{0,1}=1$ [/mm] ist auch [mm] $\pi_1 [/mm] = [mm] \pi_0$. [/mm]

Die nächste Zeile ist: [mm] $\pi_0*p_{1,0}+\pi_2*p_{1,2} [/mm] = [mm] \pi_1$. [/mm]
Mit [mm] $p_{1,0}+p_{1,2} [/mm] = 1$:  [mm] $\pi_0*(1-p_{1,2})+\pi_2*p_{1,2} [/mm] = [mm] \pi_1$. [/mm]
Und mit [mm] $\pi_1 [/mm] = [mm] \pi_0$ [/mm] folgt [mm] $\pi_2 [/mm] = [mm] \pi_0$. [/mm]

[mm]\pi_i = p_{i, i+1}*\pi_{i+1}+(1-p_{i, i+1})*\pi_{i-1}, \qquad 2\le i < n[/mm]
Damit folgt [mm] $\pi_i [/mm] = [mm] \pi_0, \qquad 2\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$

Und als letzte Zeile: [mm] $\pi_n [/mm] = [mm] \pi_n$ [/mm]

Mit  [mm]\sum_{i=0}^n\pi_i = 1[/mm] folgt [mm] $\pi_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+n}, \qquad [/mm] 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$

> Wäre super, wenn ihr mir sagt, ob ich richtig liege mit 1
> und 2, resp ob man Periodizität auch auf transiente
> Zustände ausweiten kann. Hilfe bei 3 wäre super :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Gruß
meili

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