gebrochen rationale Schar < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{a}(x)=\bruch{x^{3}}{x^{2}+a}
[/mm]
a)Bestimmen Sie die Extrema und Wendepunkte der Schar.
b)Bestimmen Sie die Ortskurve der Extrema und die Ortskurve der Wendepunkte.
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Hallo^^
Ich versuch grad die Extrema und Wendepunkte dieser Schar zu bestimmen,doch irgendwie komme ich da nicht mehr weiter.Zunächst hab ich die Ableitungen gebildet.
[mm] f_{a}'(x)=\bruch{x^{4}+3ax^{2}}{(x^{2}+a)^{2}}
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=\bruch{-2ax^{3}+6a^{2}x}{(x^{2}+a)^{3}}
[/mm]
[mm] f_{a}'''(x)=\bruch{14ax^{4}+6a^{3}-60a^{2}x^{2}}{(x^{2}+a)^{12}}
[/mm]
Sind meine Ableitungen denn so richtig?
Dann [mm] f_{a}'(x)=0,also x^{4}+3ax^{2}=0
[/mm]
Ich weiß jetz nicht genau wie ich das nach x auflösen soll,weil ich hier doch nicht durch x teilen darf oder?
Denn x=0 ist ja nicht ausgeschlossen.
Vielen dank
lg
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Hallo, leider ist schon die 1. Ableitung nicht korrekt
[mm] u=x^{3}
[/mm]
[mm] u'=3x^{2}
[/mm]
[mm] v=x^{2}+a
[/mm]
v'=2x+a
[mm] f'(x)=\bruch{3x^{2}(x^{2}+a)-x^{3}(2x+a)}{(x^{2}+a)^{2}}
[/mm]
nach dem Auflösen der Klammern fehlt dir im Zähler nicht der Term [mm] -ax^{3}
[/mm]
Steffi
die Ableitung von Mandy ist natürlich korrekt, a ist eine Konstante
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
aber warum ist denn v'=2x+a ,ich dachte das a fällt doch weg,weils ne Konstante ist?
lg
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Hallo, natürlich, ich wollte dir gerade antworten, a ist eine Konstante, sorry, 2. Ableitung ist fast korrekt, habe lieber noch einmal nachgerechnet, im Nenner steht der Exponent 3,
jetzt ist die 1. Ableitung gleich Null zu setzen
[mm] 0=x^{4}+3ax^{2}
[/mm]
[mm] 0=x^{2}(x^{2}+3a)
[/mm]
1. Fall: [mm] x^{2}=0, [/mm] somit [mm] x_1=0
[/mm]
2. Fall: [mm] x^{2}+3a=0
[/mm]
2.1. für a>0 gibt es keine reelle Lösung
2.2. für a<0 gibt es zwei reelle Lösungen [mm] x_2=\wurzel{|3a|} [/mm] und [mm] x_3=-\wurzel{|3a|}
[/mm]
ebenso kannst du bei der 2. Ableitung verfahren,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
vielen dank Steffi,
ich hab diese x-Werte jetzte mal in f''(x) eingesetzt.
Also [mm] f''(x)=\bruch{-2ax^{3}+6a^{2}x}{(x^{2}+a)^{3}}
[/mm]
1) f''(0)=0 ---> Sattelpunkt,da die zweite Ableitung auch =0 ist und die dritte ungleich 0.Stimmt das so?
2) [mm] f''(\wurzel{|3|})=\bruch{-\wurzel{|3|}+3a\wurzel{|3|}}{2a^{2}}
[/mm]
Jetzt muss also hier 3 Fälle für a unterscheiden:
2.1) a=0 --> Keine Extremstellen
2.2) a>0 --> Tiefpunkt,da die Ableitung >o ist
2.3) a<0 --> Keine Extremstellen
3) [mm] f''(-\wurzel{|3|})=\bruch{-\wurzel{|3|}-3a\wurzel{|3|}}{2a^{2}}
[/mm]
Hier muss ich nochmal 3 Fälle unterscheiden:
3.1) a=0 --> Keine Extremstelen
3.2) a>0 --> Hochpunkt,da f''<0 ist
3.3) a<0 --> Keine Extremstellen
Dann hab ich jeweils die y-Koordinaten zu den Extremstellen berechnet und habe folgendes raus.
-Sattelpunkt bei (0/0)
-Tiefpunkt bei [mm] (\wurzel{|3|}/\bruch{3*\wurzel{|3|}}{4}) [/mm] für a>0.
-Hochpunkt bei [mm] (-\wurzel{|3|}/\bruch{-\wurzel{|3|}}{4}) [/mm] für a>0.
Stimmen die Extrema so?
vielen dank
lg
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Hallo!
> ich hab diese x-Werte jetzte mal in f''(x) eingesetzt.
>
> Also [mm]f''(x)=\bruch{-2ax^{3}+6a^{2}x}{(x^{2}+a)^{3}}[/mm]
>
> 1) f''(0)=0 ---> Sattelpunkt,da die zweite Ableitung auch
> =0 ist und die dritte ungleich 0.Stimmt das so?
Genau!
> 2)
> [mm]f''(\wurzel{|3|})=\bruch{-\wurzel{|3|}+3a\wurzel{|3|}}{2a^{2}}[/mm]
Achtung! Die Nullstelle lauteten
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \sqrt{-3a}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -\sqrt{-3a}
[/mm]
für a < 0. Ansonsten existieren nämlich gar keine Nullstellen, wie Steffi ja oben schon gesagt hat. Für die folgende Betrachtung müssen wir also a < 0 annehmen!
Und wenn ich jetzt mal die erste Nullstelle einsetze (Ich vereinfache kurz noch vorher f''(x)):
$f''(x) = [mm] \bruch{-2*a*x^{3}+6*a^{2}*x}{(x^{2}+a)^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{2*a*x*\left(-x^{2}+3*a\right)}{(x^{2}+a)^{3}}$
[/mm]
[mm] $f''(x_{1}) [/mm] = [mm] \bruch{2*a*\sqrt{-3*a}*\left(3*a+3*a\right)}{(-3*a+a)^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{12*a^{2}*\sqrt{-3*a}}{-8*a^{3}} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}*\bruch{\sqrt{-3*a}}{a}$
[/mm]
Nun überlege, was sich über diesen Term aussagen lässt, wenn a < 0 gilt! Analog dann die dritte Nullstelle.
Achte darauf, auch für die Berechnung der y-Werte der Extremstellen nochmal die richtigen x-Werte einzusetzen!
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
vielen dank,
> Achtung! Die Nullstelle lauteten
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\sqrt{-3a}[/mm]
>
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-\sqrt{-3a}[/mm]
>
> für a < 0. Ansonsten existieren nämlich gar keine
> Nullstellen, wie Steffi ja oben schon gesagt hat. Für die
> folgende Betrachtung müssen wir also a < 0 annehmen!
> Und wenn ich jetzt mal die erste Nullstelle einsetze (Ich
> vereinfache kurz noch vorher f''(x)):
>
> [mm]f''(x) = \bruch{-2*a*x^{3}+6*a^{2}*x}{(x^{2}+a)^{3}} = \bruch{2*a*x*\left(-x^{2}+3*a\right)}{(x^{2}+a)^{3}}[/mm]
>
> [mm]f''(x_{1}) = \bruch{2*a*\sqrt{-3*a}*\left(3*a+3*a\right)}{(-3*a+a)^{3}} = \bruch{12*a^{2}*\sqrt{-3*a}}{-8*a^{3}} = -\bruch{3}{2}*\bruch{\sqrt{-3*a}}{a}[/mm]
>
> Nun überlege, was sich über diesen Term aussagen lässt,
> wenn a < 0 gilt! Analog dann die dritte Nullstelle.
Also wenn a<0 ist,dann ist der Term positiv,d.h. es liegt ein Tiefpunkt vor.
> Achte darauf, auch für die Berechnung der y-Werte der
> Extremstellen nochmal die richtigen x-Werte einzusetzen!
>
Ich hab jetzt die y-Koordinate des Tiefpunktes berechnet und komme auf
[mm] T(\wurzel{-3a}/\bruch{3}{2}*\wurzel{-3a})
[/mm]
Stimmt das so?
lg
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Hallo, der Punkt T als Tiefpunkt ist korrekt, es gibt auch noch ein Hochpunkt an der Stelle [mm] -\wurzel{-3a} [/mm] mit [mm] H(-\wurzel{-3a}; -\bruch{3}{2}\wurzel{-3a})
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
hallo,
> Hallo, der Punkt T als Tiefpunkt ist korrekt, es gibt auch
> noch ein Hochpunkt an der Stelle [mm]-\wurzel{-3a}[/mm] mit
> [mm]H(-\wurzel{-3a}; -\bruch{3}{2}\wurzel{-3a})[/mm]
genau das war meine nächste Frage,ich versuch als diesen Hochpunkt zu berechnen,aber bei mir ist die zweite Ableitung nämlich >0 ,wenn ich [mm] -\wurzel{-3a} [/mm] einsetze und ich find meinen Fehler nicht.
Hier mal meine [mm] Rechnung:\bruch{2a*-\wurzel{-3a}*(3a+3a)}{(3a+a)^{3})}
[/mm]
[mm] =\bruch{12a^{2}*-\wurzel{-3a}}{64a^{3})}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{16}*-\bruch{-\wurzel{-3a}}{a}
[/mm]
und das ist positiv für a<0.
lg
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Hallo Mandy_90,
> hallo,
>
> > Hallo, der Punkt T als Tiefpunkt ist korrekt, es gibt auch
> > noch ein Hochpunkt an der Stelle [mm]-\wurzel{-3a}[/mm] mit
> > [mm]H(-\wurzel{-3a}; -\bruch{3}{2}\wurzel{-3a})[/mm]
>
> genau das war meine nächste Frage,ich versuch als diesen
> Hochpunkt zu berechnen,aber bei mir ist die zweite
> Ableitung nämlich >0 ,wenn ich [mm]-\wurzel{-3a}[/mm] einsetze und
> ich find meinen Fehler nicht.
> Hier mal meine
> [mm]Rechnung:\bruch{2a*-\wurzel{-3a}*(3a+3a)}{(3a+a)^{3})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{12a^{2}*-\wurzel{-3a}}{64a^{3})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3}{16}*-\bruch{-\wurzel{-3a}}{a}[/mm]
>
> und das ist positiv für a<0.
>
Zunächst einmal ist
[mm]f''\left(x\right)=\bruch{-2ax^{3}+6a^{2}x}{\left(x^{2}+a\right)^{3}}=\bruch{2ax*\left(3a-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+a\right)^{3}}[/mm]
Im Zähler hast Du dann, vollkommen richtig, [mm]x^{2}=-3a, a<0[/mm] gesetzt.
Und das mußt Du auch im Nenner tun:
[mm]\bruch{2a*-\wurzel{-3a}*(3a+3a)}{(\red{-}3a+a)^{3})}[/mm]
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ist meine dritte Ableitung so richtig?
[mm] f'''(x)=\bruch{-18ax^{4}-36a^{2}x^{2}+6a^{2}}{(x^{2}+a)^{4}}
[/mm]
lg
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Hallo Mandy_90,
> Ist meine dritte Ableitung so richtig?
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{-18ax^{4}-36a^{2}x^{2}+6a^{2}}{(x^{2}+a)^{4}}[/mm]
Die dritte Ableitung stimmt nicht ganz:
[mm]f'''(x)=\bruch{\red{-18}ax^{4}-36a^{2}x^{2}+6a^{\red{2}}}{(x^{2}+a)^{4}}[/mm]
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
>
> > Ist meine dritte Ableitung so richtig?
> >
> >
> [mm]f'''(x)=\bruch{-18ax^{4}-36a^{2}x^{2}+6a^{2}}{(x^{2}+a)^{4}}[/mm]
>
>
> Die dritte Ableitung stimmt nicht ganz:
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{\red{-18}ax^{4}-36a^{2}x^{2}+6a^{\red{2}}}{(x^{2}+a)^{4}}[/mm]
>
ok vielen dank,hab meine Fehler gefunden,die dritte Ableitung lautet dann:
[mm] f'''(x)=\bruch{6ax^{4}-36a^{2}x^{2}+6a^{3}}{(x^{2}+a)^{4}}
[/mm]
Ich hab mich jetzt an die Wendepunkte versucht,also f''(x)=0
[mm] -2ax^{3}+6a^{2}x=0
[/mm]
ax*(-2x+6a)=0
1.Fall: ax=0 [mm] -->x_{1}=0
[/mm]
2.Fall: -2x+6a=0 --> [mm] x_{2}=3a [/mm] (hier muss ich doch keine Fallunterscheidung für a machen oder?)
Bei [mm] x_{1}=0 [/mm] liegt ein Sattelpunkt vor,das hatte ich oben schon ausgerechnet.
Und [mm] x_{2}=3a [/mm] muss ich jetzt in f'''(x) einsetzen,also
[mm] f'''(x)=\bruch{486a^{5}-324a^{4}-36a^{2}}{(9a^{2}+a)^{2}}
[/mm]
und das ist [mm] \not=0 [/mm] für [mm] a\not=0,also [/mm] liegt ein Wendepunkt bei x=3a vor und die y-Koordinate lautet [mm] \bruch{27a^{3}}{9a^{2}+a}.
[/mm]
Ist das so richtig?
lg
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Hallo Mandy,
>
> ok vielen dank,hab meine Fehler gefunden,die dritte
> Ableitung lautet dann:
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{6ax^{4}-36a^{2}x^{2}+6a^{3}}{(x^{2}+a)^{4}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich hab mich jetzt an die Wendepunkte versucht,also
> f''(x)=0
>
> [mm]-2ax^{3}+6a^{2}x=0[/mm]
> [mm] ax*(-2x^{\red{2}}+6a)=0
[/mm]
Ui, hier hast du ein Quadrat unterschlagen!
>
> 1.Fall: ax=0 [mm]-->x_{1}=0[/mm]
> 2.Fall: [mm] -2x^{\red{2}}+6a=0 [/mm] --> [mm] $\red{x_{2,3}=\pm\sqrt{3a}}$ [/mm]
Folgefehler ...
> (hier muss ich doch keine Fallunterscheidung für a machen oder?)
Jetzt schon 
Für $a<0$ gibt es offensichtlich nur eine NST der 2.Ableitung, nämlich [mm] $x_1=0$
[/mm]
>
> Bei [mm]x_{1}=0[/mm] liegt ein Sattelpunkt vor,das hatte ich oben
> schon ausgerechnet.
>
> Und [mm]x_{2}=3a[/mm] muss ich jetzt in f'''(x) einsetzen,also
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{486a^{5}-324a^{4}-36a^{2}}{(9a^{2}+a)^{2}}[/mm]
>
> und das ist [mm]\not=0[/mm] für [mm]a\not=0,also[/mm] liegt ein Wendepunkt
> bei x=3a vor und die y-Koordinate lautet
> [mm]\bruch{27a^{3}}{9a^{2}+a}.[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Rechne mit den neuen [mm] $x_2, x_3$ [/mm] nochmal nach ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,ich habs nochmal gerechnet und komme auf insgesamt 3 Wendepunkte:
Und hab auch grad noch die Ortskurven ausgerechnet.
[mm] W_{1}(0/0) [/mm]
[mm] W_{2}(\wurzel{3a}/\bruch{3}{4}*\wurzel{3a}) ,o_{W2}(x)=\bruch{3}{4}x
[/mm]
[mm] W_{3}(-\wurzel{3a}/-\bruch{3}{4}*\wurzel{3a}) ,o_{W3}(x)=-\bruch{3}{4}x
[/mm]
Wie kann man denn die Ortskurve von (0/0) ausrechnen oder hat der Punkt gar keine?
Und die Ortskurven der Extrema:
[mm] T(\wurzel{-3a}/\bruch{3}{2}\wurzel{-3a}) [/mm] , [mm] o_{T}(x)=\bruch{3}{2}x
[/mm]
[mm] H(-\wurzel{-3a}/-\bruch{3}{2}\wurzel{-3a}) ,o_{H}(x)=-\bruch{3}{2}x
[/mm]
Ich hoffe jetzt stimmt alles.
lg
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Hallo Mandy_90,
> Ok,ich habs nochmal gerechnet und komme auf insgesamt 3
> Wendepunkte:
> Und hab auch grad noch die Ortskurven ausgerechnet.
>
> [mm]W_{1}(0/0)[/mm]
> [mm]W_{2}(\wurzel{3a}/\bruch{3}{4}*\wurzel{3a}) ,o_{W2}(x)=\bruch{3}{4}x[/mm]
>
> [mm]W_{3}(-\wurzel{3a}/-\bruch{3}{4}*\wurzel{3a}) ,o_{W3}(x)=-\bruch{3}{4}x[/mm]
In Anbetracht der Koordinaten muß doch gelten:
[mm]o_{W2}\left(x\right)=o_{W3}\left(x\right)[/mm]
Und das gilt auch nur für a>0.
>
> Wie kann man denn die Ortskurve von (0/0) ausrechnen oder
> hat der Punkt gar keine?
Unabhängig vom Parameter a haben alle Kurven [mm]f_{a}[/mm]
den Punkt (0|0) als Wendpunkt.
>
> Und die Ortskurven der Extrema:
>
> [mm]T(\wurzel{-3a}/\bruch{3}{2}\wurzel{-3a})[/mm] ,
> [mm]o_{T}(x)=\bruch{3}{2}x[/mm]
>
> [mm]H(-\wurzel{-3a}/-\bruch{3}{2}\wurzel{-3a}) ,o_{H}(x)=-\bruch{3}{2}x[/mm]
>
Auch hier muß in Anbetracht der Koordinaten gelten:
[mm]o_{T}\left(x\right)=o_{H}\left(x\right)[/mm]
Und das gilt auch nur für a<0.
>
> Ich hoffe jetzt stimmt alles.
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> [mm]W_{1}(0/0)[/mm]
> [mm]W_{2}(\wurzel{3a}/\bruch{3}{4}*\wurzel{3a}) ,o_{W2}(x)=\bruch{3}{4}x[/mm]
>
> [mm]W_{3}(-\wurzel{3a}/-\bruch{3}{4}*\wurzel{3a}) ,o_{W3}(x)=-\bruch{3}{4}x[/mm]
>
> Wie kann man denn die Ortskurve von (0/0) ausrechnen oder
> hat der Punkt gar keine?
>
>
Hallo^^
bins nochmal,mir ist grad etwas aufgefallen,was ich nicht verstehe.Also wie ich oben berechnet hab,gibt es für a>0 drei Wendepunkte.Wenn ich mir jetzt aber eine Kurve für a>0 anschaue (in diesem Beispiel a=3) finde ich 2 Wendepunkte nicht.(0/0) ist ja klar.Wo liegen aber denn hier die anderen zwei Wendepunkte? Hier ist die Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Mandy_90.
> > [mm]W_{1}(0/0)[/mm]
> > [mm]W_{2}(\wurzel{3a}/\bruch{3}{4}*\wurzel{3a}) ,o_{W2}(x)=\bruch{3}{4}x[/mm]
>
> >
> > [mm]W_{3}(-\wurzel{3a}/-\bruch{3}{4}*\wurzel{3a}) ,o_{W3}(x)=-\bruch{3}{4}x[/mm]
>
> >
> > Wie kann man denn die Ortskurve von (0/0) ausrechnen oder
> > hat der Punkt gar keine?
> >
> >
>
> Hallo^^
>
> bins nochmal,mir ist grad etwas aufgefallen,was ich nicht
> verstehe.Also wie ich oben berechnet hab,gibt es für a>0
> drei Wendepunkte.Wenn ich mir jetzt aber eine Kurve für a>0
> anschaue (in diesem Beispiel a=3) finde ich 2 Wendepunkte
> nicht.(0/0) ist ja klar.Wo liegen aber denn hier die
> anderen zwei Wendepunkte? Hier ist die Zeichnung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Wähle doch mal ein anderes Intervall, z.B. [mm]\left[-4,4\right][/mm] für x.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> Wähle doch mal ein anderes Intervall, z.B.
> [mm]\left[-4,4\right][/mm] für x.
>
ok,hab ich aber ich seh da immer noch keinen Wendepunkt.
oder ist es so,dass der Wendepunkt sozusagen kein große "Wende macht" und ich ihn deswegen nicht sehe?
lg
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Hallo Mandy_90,
>
> >
> > Wähle doch mal ein anderes Intervall, z.B.
> > [mm]\left[-4,4\right][/mm] für x.
> >
>
> ok,hab ich aber ich seh da immer noch keinen Wendepunkt.
> oder ist es so,dass der Wendepunkt sozusagen kein große
> "Wende macht" und ich ihn deswegen nicht sehe?
Den Wendepunkt, den Du herausbekommen hast,
ist auch Wendepunkt der Funktion
[mm]-a\bruch{x}{x^{2}+a}[/mm]
Das kommt wie folgt zustande:
[mm]f\left(x\right)=\bruch{x^{3}}{x^{2}+a}=x-a*\bruch{x}{x^{2}+a}[/mm]
[mm]\Rightarrow f'\left(x\right)=1-a*\left( \ \bruch{x}{x^{2}+a\right) \ \right)'[/mm]
[mm]\Rightarrow f''\left(x\right)=-a*\left( \ \bruch{x}{x^{2}+a\right) \ \right)''[/mm]
Wenn Du Dir diese Funktion anschaust,
dann wirst Du wahrscheinlich alle Wendepunkte erkennen.
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Den Wendepunkt, den Du herausbekommen hast,
> ist auch Wendepunkt der Funktion
>
> [mm]-a\bruch{x}{x^{2}+a}[/mm]
>
> Das kommt wie folgt zustande:
>
> [mm]f\left(x\right)=\bruch{x^{3}}{x^{2}+a}=x-a*\bruch{x}{x^{2}+a}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f'\left(x\right)=1-a*\left( \ \bruch{x}{x^{2}+a\right) \ \right)'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f''\left(x\right)=-a*\left( \ \bruch{x}{x^{2}+a\right) \ \right)''[/mm]
>
> Wenn Du Dir diese Funktion anschaust,
> dann wirst Du wahrscheinlich alle Wendepunkte erkennen.
>
sorry,dass ich jetzt so nachhackend bin,aber ich versteh das einfach nicht.ich hab jetzt mal beide Funktionen "gezeichnet",beim roten Graphen (der den du oben hingeschrieben hast) kann man noch einigermaßen erkennen,dass es ein Wendepunkt ist (hab die Wendepunkte rot eimgekreist) ,aber beim blauen ist das doch kein Wendepunkt,der strang geht doch linear nach oben.
Ich versteh einfach nicht wie das sein kann,aber vielleicht muss ich es einfach so hinnehmen oder hast du noch eine logische Erklärung?
[Dateianhang nicht öffentlich]
vielen dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Mandy_90,
> > Den Wendepunkt, den Du herausbekommen hast,
> > ist auch Wendepunkt der Funktion
> >
> > [mm]-a\bruch{x}{x^{2}+a}[/mm]
> >
> > Das kommt wie folgt zustande:
> >
> >
> [mm]f\left(x\right)=\bruch{x^{3}}{x^{2}+a}=x-a*\bruch{x}{x^{2}+a}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow f'\left(x\right)=1-a*\left( \ \bruch{x}{x^{2}+a\right) \ \right)'[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow f''\left(x\right)=-a*\left( \ \bruch{x}{x^{2}+a\right) \ \right)''[/mm]
>
> >
> > Wenn Du Dir diese Funktion anschaust,
> > dann wirst Du wahrscheinlich alle Wendepunkte erkennen.
> >
> sorry,dass ich jetzt so nachhackend bin,aber ich versteh
> das einfach nicht.ich hab jetzt mal beide Funktionen
> "gezeichnet",beim roten Graphen (der den du oben
> hingeschrieben hast) kann man noch einigermaßen
> erkennen,dass es ein Wendepunkt ist (hab die Wendepunkte
> rot eimgekreist) ,aber beim blauen ist das doch kein
> Wendepunkt,der strang geht doch linear nach oben.
Die Funktion verhält sich nur wie eine Gerade.
> Ich versteh einfach nicht wie das sein kann,aber
> vielleicht muss ich es einfach so hinnehmen oder hast du
> noch eine logische Erklärung?
Ich denke mal, je feiner Du das Intervall um den Wendepunkt wählst,
desto mehr wirst Du diesen Punkt als Wendepunkt identifizieren können.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> vielen dank
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen dank für deine Bemühungen es mir zu erklären^^
Ich sehs jetzt so einigermaßen.
lg
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Hallo Mandy_90,
wenn du die schräge Asymptote in den Graphen einzeichnest, fällt es dir vielleicht leichter den Wendepunkt bei x = 3 zu identifizieren 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
>
> wenn du die schräge Asymptote in den Graphen einzeichnest,
> fällt es dir vielleicht leichter den Wendepunkt bei x = 3
> zu identifizieren
>
Hey,das stimmt in der Tat,durch die Asymptote seh ich den Punkt wirklich besser,vielen dank =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 18.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | c)Bestimmen Sie die Punkte des Graphen von [mm] f_{a} [/mm] (für a>0),die maximalen Abstand zur Asymptote haben.
d)Gegeben sei das achsenparallele Rechteck mit einer Ecke im Ursprung und der gegenüberliegenden Ecke P auf einem derjenigen Zweige von [mm] f_{-3} [/mm] ,welche nicht durch den Urdprung gehen.Für welche x-Koordinate des Punktes P hat dieses Rechteck minimalen Inhalt? |
Hallo,
da ich die a) und b) endlich geschafft hab,hab ich mich jetzt an die c) und d) versucht.
c) Hier hab ich zunächst die Asymptote berechnet,die lautet a(x)=x.
Und hab dann [mm] f_{a}(x)-a(x)=\bruch{-ax}{x^{2}+a} [/mm] berechnet.
Das ist nun meine Zielfunktion [mm] A(x)=\bruch{-ax}{x^{2}+a}
[/mm]
[mm] A'(x)=\bruch{ax^{2}-a^{2}}{(x^{2}+a)^{2}}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=\wurzel{a} ,x_{2}=-\wurzel{a}
[/mm]
Für [mm] x_{1} [/mm] gibts ein Minimum.
Stimmt die c) so?
d) Hier weiß ich nicht so genau wie ich ran gehn soll,ich hab mir mal das Bild dazu angeschaut und hab mir einiges überlegt.
Also meine Hauptbedingung lautet A(x)=x*f(x)
Die Nebenbedingung ist [mm] f_{-3}(x)=\bruch{x^{3}}{x^{2}-3} [/mm] und P liegt auf diesem Graphen.
Ich weiß jetzt nicht wie ich P so bestimmen kann,dass er nicht auf einem der Zweige liegt die durch den Ursprung gehn.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 So 18.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Für [mm]x_{1}[/mm] gibts ein Minimum.
>
> Wie hast Du das gezeigt ... mittels 2. Ableitung?
>
genau =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 20.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | e) Bestimmen Sie die Punkte des Graphen von [mm] f_{a}(x)=\bruch{x^{3}}{x^{2}+a} [/mm] (für a>0) ,die maximalen Abstand zur Asymptote von [mm] f_{a} [/mm] haben. |
Hallo zusammen^^
Ich bins nochmal,unzwar gehts um die Aufgabe c).
Die hab ich eigentlich ja schon gerechnet und Loddar hat gesagt,dass sie so auch stimmt,wie ich es gemacht hab.Ich hatte einfach den Abstand bestimmt,indem ich [mm] f_{a}(x)-x [/mm] gerechnet hab,die Asymptote lautet ja a(x)=x.
Und dann noch Maximum bestimmen usw.
Unser Lehrer meinte heut aber,dass mit "Abstand" nicht der vertikale Abstand,sondern der Abstand den ich in meinem Bild in rosa eingezeichnet hab,gesucht sei.Ich finde,das ist wirklich schwer zu berechnen und weiß auch nicht so genau,wie ich das machen soll.
Jedoch hab ich mir trotzdem Gedanken gemacht.Also dieser Abstand is ja eine Gerade und da befindet sich ein rechter Winkel,das heißt da müsste eine Normale liegen.Ich weiß zwar nicht genau was das bringt,aber vielleicht kann man den Schnittpunkt der Normalen mit dem Graphen und der Asymptote berechnen und kommt dann irgendwie weiter.
Das Problem ist aber es gibt ja ziemlich viele Normalen und nicht nur eine.
Deswegen hab ich mir als Beispiel mal die Funktion für a=1 rausgesucht und will es zuerst an ihr berechnen.
Nun ja,das wären so meine Überlegungen,aber einen richtigen Plan hab ich nicht.
Vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
vielen dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo, hier kannst du benutzen, dass der größte Abstand erreicht wird, wenn der Anstieg der Asymptote und der Funktion gleich sind, der Anstieg der Asymptote ist gleich 1, setze also die 1. Ableitung der Funktion gleich 1, du bekommst die Stellen [mm] \pm\wurzel{a}, [/mm] Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 20.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo, hier kannst du benutzen, dass der größte Abstand
> erreicht wird, wenn der Anstieg der Asymptote und der
> Funktion gleich sind, der Anstieg der Asymptote ist gleich
> 1, setze also die 1. Ableitung der Funktion gleich 1, du
> bekommst die Stellen [mm]\pm\wurzel{a},[/mm] Steffi
>
ok,vielen dank.Kann ich mir das so vorstellen,dass in dem Punkt in dem der Anstieg der Asymptote und der Funktion gleich sind,dort die Funktionen parallel sind und an den restlichen Stellen läuft die Funktion näher an die Asymptote.
Also so wie du es jetzt beschrieben hast,kann man die Aufgabe lösen,mich interessiert aber noch wie man das mit der Normalen löst,unser Lehrer meinte das würde auch mit den Normalen gehen.Oder ist es das selbe?
Ich glaube im Prinzip ist es dasselbe oder?
vielen dank
lg
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Hallo, eine kleine Formulierungsgeschichte, die Asymptote und die Tangente an die Funktion an den Stellen [mm] \pm\wurzel{a} [/mm] sind zueinander parallel,
zur Vorstelleung: zeichne dir mal eine Gerade und einen Halbkreis, M liegt also auf der Gerade, der größte Abstand eines Punktes auf dem Kreis zur Gerade wird erreicht, wenn die Tangente an den Kreis im besagten Punkt parallel zur Geraden ist, was ja weiter nichts bedeutet, gleicher Anstieg, vorhin war der Anstieg 1,
meint dein Lehrer bezüglich der Normalen eventuell damit den Abstand in Längeneinheiten zu berechnen, der Anstieg der Normale ist ja -1, und du hast die Punkte [mm] (\pm\wurzel{a}; f(\pm\wurzel{a}), [/mm] die zu den Normalen gehören, somit kannst du n der Normalen berechnen, um den Abstand dann in Längeneinheiten zu berechnen, ich lasse die Frage mal auf teilweise beantwortet stehen, eventuell gibt es noch andere Ideen hinsichtlich der Berechnung des Abstandes über die Normale, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Bestimme zunächst die allgemeine Normalengleichung im Punkt $P \ [mm] \left( \ x_0 \ | \ f_a(x_0) \ \right)$ [/mm] .
Berechne anschließend den entsprechenden Schnittpunkt $Q_$ mit der Tangente $t(x) \ = \ x$ .
Damit hast Du nun zwei Punkte, für welche Du die Abstandsformel [mm] $d_{PQ} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2}$ [/mm] anwenden kannst. Dies ist dann auch Deine Zielfunktion.
Zur Vereinfachung kannst Du aber auch [mm] $d^{\red{2}}(x_0)$ [/mm] verwenden, um die "lästige" Wurzel loszuwerden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen dank Loddar.
Ich mache das ganze mal am Beispiel für a=1
> Bestimme zunächst die allgemeine Normalengleichung im Punkt
> [mm]P \ \left( \ x_0 \ | \ f_a(x_0) \ \right)[/mm] .
Das hab ich gemacht und hab und komme auf [mm] n(x)=-x_{0}+b,ich [/mm] weiß nur nicht wie ich b berechnen soll oder gibts kein b?
> Berechne anschließend den entsprechenden Schnittpunkt [mm]Q_[/mm]
> mit der Tangente [mm]t(x) \ = \ x[/mm] .
Der Schnittpunkt mit der Tangente wäre doch -x=x ?
> Damit hast Du nun zwei Punkte, für welche Du die
> Abstandsformel [mm]d_{PQ} \ = \ \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2}[/mm]
> anwenden kannst. Dies ist dann auch Deine Zielfunktion.
Das versteh ich nicht so ganz.Der Abstand d,den du hier beschreibst,ist bei mir im Bild gelb eingezeichnet,aber den wollte ich doch gar nicht berechnen.Ich will doch den "grünen" Abstand haben oder versteh ich dich grad falsch?
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Zur Vereinfachung kannst Du aber auch [mm]d^{\red{2}}(x_0)[/mm]
> verwenden, um die "lästige" Wurzel loszuwerden.
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Mandy_90,
> Vielen dank Loddar.
> Ich mache das ganze mal am Beispiel für a=1
>
> > Bestimme zunächst die allgemeine Normalengleichung im Punkt
> > [mm]P \ \left( \ x_0 \ | \ f_a(x_0) \ \right)[/mm] .
>
> Das hab ich gemacht und hab und komme auf [mm]n(x)=-x_{0}+b,ich[/mm]
> weiß nur nicht wie ich b berechnen soll oder gibts kein b?
Berechne doch die Gleichung der Normalen mit Hilfe
der Punkt-Steigungs-Form einer Geraden.
>
> > Berechne anschließend den entsprechenden Schnittpunkt [mm]Q_[/mm]
> > mit der Tangente [mm]t(x) \ = \ x[/mm] .
>
> Der Schnittpunkt mit der Tangente wäre doch -x=x ?
>
> > Damit hast Du nun zwei Punkte, für welche Du die
> > Abstandsformel [mm]d_{PQ} \ = \ \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2}[/mm]
> > anwenden kannst. Dies ist dann auch Deine Zielfunktion.
>
> Das versteh ich nicht so ganz.Der Abstand d,den du hier
> beschreibst,ist bei mir im Bild gelb eingezeichnet,aber den
> wollte ich doch gar nicht berechnen.Ich will doch den
> "grünen" Abstand haben oder versteh ich dich grad falsch?
Der Schnittpunkt Q ist der Schnittpunkt der Normalen mit der Asymptote.
Dann kannst Du die Abstandsformel anwenden.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> > Zur Vereinfachung kannst Du aber auch [mm]d^{\red{2}}(x_0)[/mm]
> > verwenden, um die "lästige" Wurzel loszuwerden.
> >
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> > > Bestimme zunächst die allgemeine Normalengleichung im Punkt
> > > [mm]P \ \left( \ x_0 \ | \ f_a(x_0) \ \right)[/mm] .
> >
> > Das hab ich gemacht und hab und komme auf [mm]n(x)=-x_{0}+b,ich[/mm]
> > weiß nur nicht wie ich b berechnen soll oder gibts kein b?
>
>
> Berechne doch die Gleichung der
> Normalen mit Hilfe
> der Punkt-Steigungs-Form
> einer Geraden.
ok hab ich,dann ist [mm] n(x)=-x+x_{0}+y_{0},bzw. n(x)=-x+x_{0}+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1}?
[/mm]
>
> >
> > > Berechne anschließend den entsprechenden Schnittpunkt [mm]Q_[/mm]
> > > mit der Tangente [mm]t(x) \ = \ x[/mm] .
> >
> > Der Schnittpunkt mit der Tangente wäre doch -x=x ?
> >
> > > Damit hast Du nun zwei Punkte, für welche Du die
> > > Abstandsformel [mm]d_{PQ} \ = \ \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2}[/mm]
> > > anwenden kannst. Dies ist dann auch Deine Zielfunktion.
> >
> > Das versteh ich nicht so ganz.Der Abstand d,den du hier
> > beschreibst,ist bei mir im Bild gelb eingezeichnet,aber den
> > wollte ich doch gar nicht berechnen.Ich will doch den
> > "grünen" Abstand haben oder versteh ich dich grad falsch?
>
>
> Der Schnittpunkt Q ist der Schnittpunkt der Normalen mit
> der Asymptote.
>
> Dann kannst Du die Abstandsformel anwenden.
>
>
ok,dann sieht das ganze also so aus und das grüne ist d.
Versteh ich das richtig,dass das ganze dann so aussieht wie ich es unten eingezeichnet habe?
Müsste man dann aber nicht [mm] d=\wurzel{(x_{P}-x_{Q})^{2}+(y_{Q}-y_{P})^{2}} [/mm] rechnen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Mandy_90,
> >
> > > > Bestimme zunächst die allgemeine Normalengleichung im Punkt
> > > > [mm]P \ \left( \ x_0 \ | \ f_a(x_0) \ \right)[/mm] .
> > >
> > > Das hab ich gemacht und hab und komme auf [mm]n(x)=-x_{0}+b,ich[/mm]
> > > weiß nur nicht wie ich b berechnen soll oder gibts kein b?
> >
> >
> > Berechne doch die Gleichung der
> > Normalen mit Hilfe
> > der Punkt-Steigungs-Form
> > einer Geraden.
>
> ok hab ich,dann ist [mm]n(x)=-x+x_{0}+y_{0},bzw. n(x)=-x+x_{0}+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1}?[/mm]
Ich meinte so:
[mm]\bruch{y-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=-\bruch{1}{f'\left(x_{0}\right)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > Berechne anschließend den entsprechenden Schnittpunkt [mm]Q_[/mm]
> > > > mit der Tangente [mm]t(x) \ = \ x[/mm] .
> > >
> > > Der Schnittpunkt mit der Tangente wäre doch -x=x ?
> > >
> > > > Damit hast Du nun zwei Punkte, für welche Du die
> > > > Abstandsformel [mm]d_{PQ} \ = \ \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2}[/mm]
> > > > anwenden kannst. Dies ist dann auch Deine Zielfunktion.
> > >
> > > Das versteh ich nicht so ganz.Der Abstand d,den du hier
> > > beschreibst,ist bei mir im Bild gelb eingezeichnet,aber den
> > > wollte ich doch gar nicht berechnen.Ich will doch den
> > > "grünen" Abstand haben oder versteh ich dich grad falsch?
> >
> >
> > Der Schnittpunkt Q ist der Schnittpunkt der Normalen mit
> > der Asymptote.
> >
> > Dann kannst Du die Abstandsformel anwenden.
> >
> >
> ok,dann sieht das ganze also so aus und das grüne ist d.
> Versteh ich das richtig,dass das ganze dann so aussieht
> wie ich es unten eingezeichnet habe?
Ja, das verstehst Du richtig.
> Müsste man dann aber nicht
> [mm]d=\wurzel{(x_{P}-x_{Q})^{2}+(y_{Q}-y_{P})^{2}}[/mm] rechnen?
Das ist formal korrekt.
Das ist aber egal, wie man rechnet, die Abstandsfunktion ist nämlich symmetrisch.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,
> >
> > ok hab ich,dann ist [mm]n(x)=-x+x_{0}+y_{0},bzw. n(x)=-x+x_{0}+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1}?[/mm]
>
>
> Ich meinte so:
>
> [mm]\bruch{y-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=-\bruch{1}{f'\left(x_{0}\right)}[/mm]
>
Ist meine Normalengleichung also richtig oder falsch?Falls sie richtig ist,hab ich jetzt versucht den Schnittpunkt Q mit der Tangente zu berechnen,also [mm] x=-x+x_{0}+\bruch{(x_{0})^{3}}{(x_{0})^{2}+1}
[/mm]
[mm] x=\bruch{(4x_{0})^{3}+2x_{0}}{(x_{0})^{2}+1}
[/mm]
Ist das so in Ordnung?
lg
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Hallo Mandy_90,
> ok,
>
>
> > >
> > > ok hab ich,dann ist [mm]n(x)=-x+x_{0}+y_{0},bzw. n(x)=-x+x_{0}+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1}?[/mm]
>
> >
> >
> > Ich meinte so:
> >
> >
> [mm]\bruch{y-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=-\bruch{1}{f'\left(x_{0}\right)}[/mm]
> >
>
> Ist meine Normalengleichung also richtig oder falsch?Falls
Die Normalengleichung stimmt nicht.
Die Steigung der Normalen ist auch von [mm]x_{0}[/mm] abhängig.
> sie richtig ist,hab ich jetzt versucht den Schnittpunkt Q
> mit der Tangente zu berechnen,also
> [mm]x=-x+x_{0}+\bruch{(x_{0})^{3}}{(x_{0})^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{(4x_{0})^{3}+2x_{0}}{(x_{0})^{2}+1}[/mm]
>
> Ist das so in Ordnung?
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Ich meinte so:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{y-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=-\bruch{1}{f'\left(x_{0}\right)}[/mm]
> > >
> >
> > Ist meine Normalengleichung also richtig oder falsch?Falls
>
>
> Die Normalengleichung stimmt nicht.
>
> Die Steigung der Normalen ist auch von [mm]x_{0}[/mm] abhängig.
>
hm,also ich hab die Formel für die Normale [mm] n(x)=-\bruch{1}{f'(x_{0})}*(x-x_{0})*f(x_{0}).
[/mm]
So jetzt hab ich den Punkt [mm] P(x_{0}/f_{1}(x_{0})) [/mm] und setze ein
[mm] n(x)=\bruch{(x_{0}^{2}+1)^{2}}{x_{0}^{4}+3x_{0}^{2}}*(x-x_{0})+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1} [/mm]
Stimmt es jetzt ?
lg
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Hallo Mandy_90,
>
> > > > Ich meinte so:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{y-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=-\bruch{1}{f'\left(x_{0}\right)}[/mm]
> > > >
> > >
> > > Ist meine Normalengleichung also richtig oder falsch?Falls
> >
> >
> > Die Normalengleichung stimmt nicht.
> >
> > Die Steigung der Normalen ist auch von [mm]x_{0}[/mm] abhängig.
> >
>
> hm,also ich hab die Formel für die Normale
> [mm]n(x)=-\bruch{1}{f'(x_{0})}*(x-x_{0})*f(x_{0}).[/mm]
> So jetzt hab ich den Punkt [mm]P(x_{0}/f_{1}(x_{0}))[/mm] und setze
> ein
>
> [mm]n(x)=\bruch{(x_{0}^{2}+1)^{2}}{x_{0}^{4}+3x_{0}^{2}}*(x-x_{0})+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1}[/mm]
>
>
> Stimmt es jetzt ?
So stimmt's:
[mm]n(x)=\red{-}\bruch{(x_{0}^{2}+1)^{2}}{x_{0}^{4}+3x_{0}^{2}}*(x-x_{0})+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1}[/mm]
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> So stimmt's:
>
> [mm]n(x)=\red{-}\bruch{(x_{0}^{2}+1)^{2}}{x_{0}^{4}+3x_{0}^{2}}*(x-x_{0})+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1}[/mm]
>
>
Puh,das wäre also geschafft,jetzt der Schnittpunkt,aklso
[mm] -\bruch{(x_{0}^{2}+1)^{2}*x}{x_{0}^{4}+3x_{0}^{2}}+\bruch{(x_{0}*(x_{0}^{2}+1)^{2}}{x_{0}^{4}+3x_{0}^{2}}+\bruch{x_{0}^{3}}{x_{0}^{2}+1}=x
[/mm]
hmm,viel vereinfachen kann man da nicht,also ist es sozusagen schon nach x aufgelöst,ich hab zwar noch ein x auf der linken Seite,aber wie soll man denn bei diesem Riesenausdruck den Schnittpunkt berechnen?
vielen dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 22.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Bringe den ersten Bruch mit dem $x_$ auf die rechte Seite der Gleichung und klammere anschließend $x_$ aus.
Dann durch den entstandenen Klammerterm teilen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo, hier kannst du benutzen, dass der größte Abstand
> erreicht wird, wenn der Anstieg der Asymptote und der
> Funktion gleich sind, der Anstieg der Asymptote ist gleich
> 1, setze also die 1. Ableitung der Funktion gleich 1, du
> bekommst die Stellen [mm]\pm\wurzel{a},[/mm] Steffi
>
Hallo,
das hab ich mal versucht,aber ich komme irgendwie nicht auf [mm] \pm\wurzel{a}.
[/mm]
Also [mm] f_{a}'(x)=\bruch{x^{4}+3ax^{2}}{(x^{2}+a)^{2}}, [/mm]
[mm] x^{4}+3ax^{2}=1
[/mm]
[mm] x^{4}+3ax^{2}-1=0
[/mm]
[mm] z=x^{4}
[/mm]
[mm] z^{2}+3-1=0
[/mm]
mit der pq-Formel komme ich auf [mm] x=-\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{13}}{2} [/mm] ???
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo, hier kannst du benutzen, dass der größte Abstand
> > erreicht wird, wenn der Anstieg der Asymptote und der
> > Funktion gleich sind, der Anstieg der Asymptote ist gleich
> > 1, setze also die 1. Ableitung der Funktion gleich 1, du
> > bekommst die Stellen [mm]\pm\wurzel{a},[/mm] Steffi
> >
>
> Hallo,
>
> das hab ich mal versucht,aber ich komme irgendwie nicht auf
> [mm]\pm\wurzel{a}.[/mm]
> Also [mm]f_{a}'(x)=\bruch{x^{4}+3ax^{2}}{(x^{2}+a)^{2}},[/mm]
> [mm]x^{4}+3ax^{2}=1[/mm]
Hier muß die Gleichung
[mm]\bruch{x^{4}+3ax^{2}}{(x^{2}+a)^{2}}=1[/mm]
gelöst werden.
Gleichbedeutend damit ist die Lösung von
[mm]x^{4}+3ax^{2}=\left(x^{2}+a\right)^{2}[/mm]
> [mm]x^{4}+3ax^{2}-1=0[/mm]
>
> [mm]z=x^{4}[/mm]
>
> [mm]z^{2}+3-1=0[/mm]
>
> mit der pq-Formel komme ich auf
> [mm]x=-\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{13}}{2}[/mm] ???
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hier muß die Gleichung
>
> [mm]\bruch{x^{4}+3ax^{2}}{(x^{2}+a)^{2}}=1[/mm]
>
> gelöst werden.
>
> Gleichbedeutend damit ist die Lösung von
>
> [mm]x^{4}+3ax^{2}=\left(x^{2}+a\right)^{2}[/mm]
>
Ach ja klar,aber irgendwie komm ich immer noch nicht auf das Ergebnis,hier mal meine Rechnung:
[mm] x^{4}+3ax^{2}=(x^{2}+a)^{2}
[/mm]
[mm] x^{2}+\wurzel{3a}x=x^{2}+a
[/mm]
[mm] \wurzel{3a}x=a
[/mm]
[mm] x=\bruch{a}{\wurzel{3a}}
[/mm]
Wo liegt mein Fehler?
lg
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Hallo Mandy_90,
>
> > Hier muß die Gleichung
> >
> > [mm]\bruch{x^{4}+3ax^{2}}{(x^{2}+a)^{2}}=1[/mm]
> >
> > gelöst werden.
> >
> > Gleichbedeutend damit ist die Lösung von
> >
> > [mm]x^{4}+3ax^{2}=\left(x^{2}+a\right)^{2}[/mm]
> >
>
> Ach ja klar,aber irgendwie komm ich immer noch nicht auf
> das Ergebnis,hier mal meine Rechnung:
>
> [mm]x^{4}+3ax^{2}=(x^{2}+a)^{2}[/mm]
>
> [mm]x^{2}+\wurzel{3a}x=x^{2}+a[/mm]
Es ist [mm]\wurzel{x^{4}+3ax^{2}} \not= x^{2}+\wurzel{3a}x[/mm]
Löse doch einfach diese Gleichung
[mm]x^{4}+3ax^{2}=(x^{2}+a)^{2}[/mm]
[mm]\gdw x^{4}+3ax^{2}-(x^{2}+a)^{2}=0[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3a}x=a[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{a}{\wurzel{3a}}[/mm]
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
> lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank,damit komme ich auf das Ergebnis =)
lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso noch eine kleine Frage,bei der Rechnung muss man am Ende durch a teilen,ist das hier erlaubt,weil a=0 ja nicht ausgeschlossen ist?
lg
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Hallo Mandy_90,
> Achso noch eine kleine Frage,bei der Rechnung muss man am
> Ende durch a teilen,ist das hier erlaubt,weil a=0 ja nicht
> ausgeschlossen ist?
Das ist nur erlaubt, wenn [mm]a \not= 0[/mm].
Der Fall a=0 muß hier ausgeschlossen werden.
Für a=0 stimmt die Funktion mit ihrer Asympoten überein.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 18.01.2009 | | Autor: | moody |
> Wie kommst du drauf,woher kommt jetzt die [mm]\wurzel{3}[/mm] ?
> Der Punkt P hat die Koordinaten
> [mm]P(x/\bruch{x^{3}}{x^{3}-3})[/mm] ,heißt das jetzt,dass
> [mm]x>\wurzel{3}[/mm] sein muss,aber warum?
Guck dir den Nenner mal für keiner Wurzel 3 an.
lg moody
//Edit ich glaube Loddar hat sich vertan und meinte [mm] \wurzel[3]{3}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 18.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,ich habs jetzt ausgerechnet und hab raus,dass für [mm] x=\wurzel{6} [/mm] der Inhalt des Rechtecks minimal ist.
Ist das so richtig?
lg
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Hallo Mandy_90,
> Ok,ich habs jetzt ausgerechnet und hab raus,dass für
> [mm]x=\wurzel{6}[/mm] der Inhalt des Rechtecks minimal ist.
>
> Ist das so richtig?
Eigentlich wird der Inhalt minimal, wenn [mm]\vmat{x}=\wurzel{6}[/mm].
Ja.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 18.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Wo kommt denn hier plötzlich das [mm] $x^{\red{3}}$ [/mm] im Nenner her?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 18.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Wo kommt denn hier plötzlich das [mm]x^{\red{3}}[/mm] im Nenner
> her?
Ups,natürlich gehört das nicht da hin,da hab ich mich wohl vertippt.
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