größtes Volumen errechnen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Metis |
| Aufgabe | Eine Firma möchte sogenannte "Wundereier" herstellen. Dazu fertigt sie rotationssymmetrische Körper einer eiähnlichen Form, die durch Rotation eines Modells des Graphen der Funktion f mit [mm] f(x)=\wurzel{(4-(4/9)x^2)} [/mm] zwischen den Nullstellen von f um die x-Achse entstehen. Die Längeneinheit entspricht dabei einen Zentimeter in der Natur.
a)Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und skizzieren Sie den Graphen von f in einem Koordinatensystem
Bestimmen Sie das Volumen des "Wundereies".
b) In den "Wundereiern" sollen zylindrische Gefäße enthalten sein, deren Symmetrieachse die x-Achse ist. Berechnen Sie das größtmögliche Volumen eines solchen Zylinders. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a)
Nullstellen: x1=-3 , x2=3
Volumen: [mm] 16\pi
[/mm]
zu b)
Hier liegt mein Problem. Ich denke, es ist eine Extremalproblem. Es muss also eine Haupt- und eine Nebenbedingung aufgestellt werden, um auf die Zielfunktion zu kommen
Ansatz:
Das Volumen eines Zylinders ist [mm] \pi*r^2*h [/mm] und muss kleiner sein als das Volumen des Wundereies [mm] 16\pi [/mm] (Hauptbedingung?)
Desweiteren muss das Ei kürzer sein als 6cm (von einer Nullstelle zur anderen) und die kleiner als 4cm (Radius kleiner 2).
--> Wie schreibt man das in eine Rechnung, um daraus die Zielfunktion machen zu können?
Die Lösung ist V(x)= [mm] 8\pi*x-(8/9)\pi*x^3.
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Eine Firma möchte sogenannte "Wundereier" herstellen. Dazu
> fertigt sie rotationssymmetrische Körper einer
> eiähnlichen Form, die durch Rotation eines Modells des
> Graphen der Funktion f mit [mm]f(x)=\wurzel{(4-(4/9)x^2)}[/mm]
> zwischen den Nullstellen von f um die x-Achse entstehen.
> Die Längeneinheit entspricht dabei einen Zentimeter in der
> Natur.
>
> a)Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und
> skizzieren Sie den Graphen von f in einem
> Koordinatensystem
> Bestimmen Sie das Volumen des "Wundereies".
>
> b) In den "Wundereiern" sollen zylindrische Gefäße
> enthalten sein, deren Symmetrieachse die x-Achse ist.
> Berechnen Sie das größtmögliche Volumen eines solchen
> Zylinders.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> a)
> Nullstellen: x1=-3 , x2=3
> Volumen: [mm]16\pi[/mm]
Beides stimmt.
>
> zu b)
> Hier liegt mein Problem. Ich denke, es ist eine
> Extremalproblem. Es muss also eine Haupt- und eine
> Nebenbedingung aufgestellt werden, um auf die Zielfunktion
> zu kommen
>
> Ansatz:
> Das Volumen eines Zylinders ist [mm]\pi*r^2*h[/mm] und muss kleiner
> sein als das Volumen des Wundereies [mm]16\pi[/mm]
> (Hauptbedingung?)
> Desweiteren muss das Ei kürzer sein als 6cm (von einer
> Nullstelle zur anderen) und die kleiner als 4cm (Radius
> kleiner 2).
>
> --> Wie schreibt man das in eine Rechnung, um daraus die
> Zielfunktion machen zu können?
Mal Dir ein Bild ! Dann siehst Du einen "liegenden" Zylinder, bei dem die Symmetrieachse die x -Achse ist.
Den Punkt auf der x - Achse, in dem die positive x _achse den rechten "Deckel" des Zylinders durchstößt , bezeichnen wir mit x.
Dann hat der liegende Zylinder schon mal die "Höhe" h=2x, der Radius der beiden D"Deckel ist jeweils r=f(x)
Setze das mal ein in die Formel [mm]\pi*r^2*h[/mm]
FRED
>
> Die Lösung ist V(x)= [mm]8\pi*x-(8/9)\pi*x^3.[/mm]
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Metis |
Vielen Dank schonmal!
Ich steh irgendwie grad auf dem Schlauch: Wieso ist r=f(x)
Ansonsten kommt nun das richtige raus:
[mm] 2\pix(4-(4/9)x^2) [/mm] = [mm] 8\pi*x [/mm] - [mm] 8/9\pi*x^3
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich habe (nur als Beispiel) die Stelle x=2 gewählt, die Höhe ist (im Beispiel) 4, der Radius, rot gezeichnet, ist f(2), allgemein:
Höhe: 2x
Radius: f(x)
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
