komplexe Stammfkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(z) = [mm] (z^2+1)^{-1}
[/mm]
[mm] G_1 [/mm] = [mm] \IC \backslash \{iy | y\in \IR , |y|\ge 1 \}
[/mm]
[mm] G_2 [/mm] = [mm] \IC \backslash \{iy | y\in \IR, |y|\le 1\}
[/mm]
Zeige, dass f eine Stammfunktion in [mm] G_1 [/mm] besitzt mit F(0)=0, gebe diese an. Gebe auch die Stammfunktion von f in [mm] G_2 [/mm] an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
[mm] G_1 [/mm] ist die komplexe Zahlenebene ohne die Y-Achse größer gleich 1.
[mm] G_2 [/mm] ist die kompexe Zahlenebene ohne die Y-Achse kleiner gleich 1.
Außerdem gilt:
[mm] \frac{1}{z^2+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)
[/mm]
Als Stammfunktion habe ich
F(z) = [mm] \frac{1}{2i}(Log(z-i)-Log(z+i))
[/mm]
und da der komplexe Log seine Probleme auf [mm] \IR_{\le 0} [/mm] hat gilt diese Stammfkt. nur auf [mm] \IC \backslash \IR_{\le 0}
[/mm]
Ich habe ganz normal integriert, so als oboch reelle Zahlen hätte.
Wie stelle ich nun fest, ob dies eine gültige Stammfunktion auf [mm] G_1 [/mm] bzw. [mm] G_2 [/mm] ist?
LG,
HP
Edit: Aufgabenstellung verbessert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mi 08.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> f(z) = [mm](z^2+1)^{-1}[/mm]
>
> [mm]G_1[/mm] = [mm]\IC \backslash \{iy | y\in \IR , |y|\ge 1 \}[/mm]
> [mm]G_2[/mm] =
> [mm]\IC \backslash \{iy | y\in \IR, |y|\le 1\}[/mm]
>
> Zeige, dass f eine Stammfunktion in [mm]G_1[/mm] besitzt, gebe diese
> an. Gebe auch die Stammfunktion von f in [mm]G_2[/mm] an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> [mm]G_1[/mm] ist die komplexe Zahlenebene ohne die Y-Achse größer
> gleich 1.
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> [mm]G_2[/mm] ist die kompexe Zahlenebene ohne die Y-Achse kleiner
> gleich 1.
>
> Außerdem gilt:
>
> [mm]\frac{1}{z^2+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{2i} \left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)[/mm]
>
> Als Stammfunktion habe ich
>
> F(z) = [mm]\frac{1}{2i}(Log(z-i)-Log(z+i))[/mm]
>
> und da der komplexe Log seine Probleme auf [mm]\IR_{\le 0}[/mm] hat
> gilt diese Stammfkt. nur auf [mm]\IC \backslash \IR_{\le 0}[/mm]
Nein. Diese Argumentation musst du für jeden der beiden Summanden getrennt anwenden.
Einfacher ist es,
[mm] F(z) = \frac{1}{2i}\mathop{\mathrm{Log}}\bruch{z-i}{z+i}[/mm]
zu schreiben und zu überlegen, wann [mm] $\bruch{z-i}{z+i}$ [/mm] eine nichtpositive reelle Zahl ist (womit wir die Antwort in diesem Thread benutzen können).
Viele Grüße
Rainer
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Aha, so hängen die Aufgaben also wieder zusammen :)
Trotzdem ist mir noch unklar, wie ich für jedes Gebiet eine eigene Stammfkt. finden soll.
Soll ich einfach noch schauen, wann [mm] \frac{z-i}{z+i} [/mm] auf der y-achse [mm] \le [/mm] 1 [mm] (bzw.\ge [/mm] 1) liegt?
LG,
HP
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mi 08.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Trotzdem ist mir noch unklar, wie ich für jedes Gebiet eine
> eigene Stammfkt. finden soll.
>
> Soll ich einfach noch schauen, wann [mm]\frac{z-i}{z+i}[/mm] auf der
> y-achse [mm]\le[/mm] 1 [mm](bzw.\ge[/mm] 1) liegt?
Was hat das damit zu tun? Die Frage ist doch, wie du selbst am Anfang schriebst, wann [mm]\frac{z-i}{z+i}[/mm] auf der negativen reellen Achse liegt.
Betrachte dazu die beiden Funktionen
[mm] \frac{1}{2i}\mathop{\mathrm{Log}}\bruch{i-z}{i+z} [/mm]
und
[mm] \frac{1}{2i}\mathop{\mathrm{Log}}\bruch{z-i}{z+i} [/mm]
die beide lokale Stammfunktionen darstellen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
evtl reden wir aneinander vorbei?
Die Aufgabe lautet ja nicht, eine Stammfunktion auf dem größtmöglichen Gebiet zu finden, sondern eine auf [mm] G_1 [/mm] bzw. [mm] G_2 [/mm] zu finden.
Wenn ich jetzt aber nirgends bei der Lösung der Aufgabe die zwei Gebiete beachte, kann die Aufgabe ja nicht korrekt gelöst sein.
LG,
HP
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mi 08.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> evtl reden wir aneinander vorbei?
>
> Die Aufgabe lautet ja nicht, eine Stammfunktion auf dem
> größtmöglichen Gebiet zu finden, sondern eine auf [mm]G_1[/mm] bzw.
> [mm]G_2[/mm] zu finden.
>
> Wenn ich jetzt aber nirgends bei der Lösung der Aufgabe die
> zwei Gebiete beachte, kann die Aufgabe ja nicht korrekt
> gelöst sein.
Aber das hast du nicht getan. Du schaust dir an, ob [mm] $\mathop{\mathrm{Log}}z$ [/mm] definiert ist. Das ist nicht die Frage.
Es geht ja nicht darum, ob [mm] $\bruch{z-i}{z+i}$ [/mm] in [mm] $G_1$ [/mm] bzw. [mm] $G_2$ [/mm] liegt, sondern z. Du schaust nicht, wann das Argument des Logarithmus negativ ist. Das ist nämlich genau für [mm] $z\not\in G_1$ [/mm] bzw. [mm] $z\not\in G_2$ [/mm] der Fall, je nachdem, welche der beiden Funktionen ich nehme.
Viele Grüße
Rainer
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Ich sehe auch gerade, dass ich mir die Gebite falsch vorgestellt habe.
Richtig müsste sein:
[mm] G_1 [/mm] ist die komplexe Zahlenebene ohne die y-achse kleiner gleich -i und größer gleich i
[mm] G_2 [/mm] ist die komplexe Zahlenebene ohne die y-achse zwischen -i und i
LG,
HP
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