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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Di 13.11.2012 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | | Die konvergente Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a bei n--> [mm] \infty. [/mm] Beweise, dass [mm] b_{n}= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] gegen a konvergiert. |
Hallo allerseits,
Ich komme beim Beweis einfach nicht so recht weiter.
Erst einmal mein Ansatz:
[mm] a_{n} [/mm] konvergent gegen a bei n--> [mm] \infty [/mm] --> also gilt:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN, [/mm] n>N: [mm] |a_{n}- a|<\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Nun betrachte ich [mm] b_{n}:
[/mm]
Ich muss beweisen, dass [mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN, [/mm] n>N: [mm] |b_{n}-a|< \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Ich wähle ein m [mm] \in \IN, [/mm] m<n.
--> [mm] |b_{n} [/mm] - a|= [mm] |\bruch{1}{n}*( \summe_{k=1}^{m} a_{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=m+1}^{n} a_{k}) [/mm] -a| = [mm] |\bruch{1}{n}*( \summe_{k=1}^{m} (a_{k} [/mm] - a) [mm] +\summe_{k=m+1}^{n} (a_{k} [/mm] -a)| < [mm] |\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{m} (a_{k} [/mm] - a)| + [mm] |\bruch{1}{n}* \summe_{k=m+1}^{n} (a_{k} [/mm] -a)|
Nun weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll. Ich weiß, dass der erste und der zweite Betrag < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] sein muss, woraus dann folgen würde, dass das die Summe davon < [mm] \varepsilon [/mm] wäre --> [mm] b_{n} [/mm] konvergent gegen a, aber ich weiß nicht warum. Kanns mir einer erklären.
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Hallo petapahn,
diese Aufgabe gehört zu den "Standards" - was nicht heißt, das sie leicht wäre.
Schau mal hier.
Sie kommt aber in verschiedenen Formulierungen auch noch öfter hier im Forum vor.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Di 13.11.2012 | | Autor: | petapahn |
habs rausbekommen danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 13.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Ich habe noch eine Frage:
Kann man allgemein behaupten, dass das arithmetische Mittel beschränkter Funktionen/Folgen grundsätzlich konvergiert?
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Hallo nochmal,
> Ich habe noch eine Frage:
> Kann man allgemein behaupten, dass das arithmetische
> Mittel beschränkter Funktionen/Folgen grundsätzlich
> konvergiert?
Hm. Ich sehe gerade keinen Grund, warum das nicht im Prinzip so sein sollte, würde aber genauer sein:
Das arithmetische Mittel beschränkter Funktionen/Folgen ist beschränkt.
Das arithmetische Mittel konvergenter Funktionen/Folgen ist konvergent.
Das ist ja nicht das gleiche. 
Allerdings fällt mir auch kein Beispiel ein, bei dem das ar.Mittel einer beschränkten Folge nicht konvergiert.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo petapahn,
> Ich habe noch eine Frage:
> Kann man allgemein behaupten, dass das arithmetische
> Mittel beschränkter Funktionen/Folgen grundsätzlich
> konvergiert?
Nein, dieser Zusammenhang gilt nicht.
Es lässt sich eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$, [/mm] die nur die Werte 0,-1 und 1 annimmt, basteln, so dass das arithmetische Mittel die Häufungspunkte 0 und [mm] $\bruch12$ [/mm] hat.
Die Idee dazu ist unpräzise beschrieben folgende:
Wir starten mit [mm] $a_0:=0$. [/mm] Dann lassen wir das arithmetische Mittel durch fortwährende Wahl von [mm] $a_n:=1$ [/mm] für die folgenden Werte von n bis auf [mm] $\bruch12$ [/mm] ansteigen. Dann wählen wir für die nächsten Werte von n jeweils [mm] $a_n:=-1$, [/mm] bis das arithmetische Mittel wieder auf 0 sinkt. Dann wählen wir für die nächsten Werte von n wieder [mm] $a_n:=1$ [/mm] bis das arithmetische Mittel wieder auf [mm] $\bruch12$ [/mm] ansteigt. Usw.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Di 13.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Tobias,
gute Idee!
Sowas habe ich vorhin gesucht.
Bleibt also nur der Schluss von beschränkt auf beschränkt und der von konvergent auf konvergent.
Grüße
reverend
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