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ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:47 Mo 04.02.2008
Autor: Kueken

Aufgabe
Betrachten Sie die Funktion f: x -> ln(ln|x|)
Bestimmen Sie Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Skizze

Hi!

Also ich möchte hier keine Lösung zu den Aufgaben. Ich habe generell das Problem mit dem Doppelten ln und dem Betrag in dem einen ln.
Ich weiß weder wie ich hier ableite (wegen dem Betrag) noch wie man Nullstellen hier berechnet.
D dürfte gleich [mm] R\0 [/mm] wegen dem Betrag oder?

Kann bitte jemand mir erklären wie ich hier vorgehe?

Dankeschön und Liebe Grüße
Kerstin

        
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 Mo 04.02.2008
Autor: Kueken

es sollte R außer 0 heißen...

Bezug
        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Mo 04.02.2008
Autor: Zorba

Betrachte diese Funktion ohne Betragszeichen für positive x und mit nem - davor für negative x.
Für die Nullstellen: Wann ist der äussere ln = 0 bzw. wann ist ln überhaupt = 0 ?

Bezug
                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:53 Mo 04.02.2008
Autor: Kueken

Hi!
Danke dir schonmal, aber eins verstehe ich nicht "mit nem - davor für negative x. "

Wovor meinst du jetzt? So? : -ln(ln/x/)


Bezug
                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 Mo 04.02.2008
Autor: Zorba

Nein vor dem x!

Bezug
                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

Also ich hab jetzt D=R außer 0
Nullstellen: e=x, x>0
             -e=x, x<0

Extrema: gibbet it nisch
Wp: auch nich

Stimmt das soweit?

Bezug
                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:04 Di 05.02.2008
Autor: Zorba

Was meinst du mit e=x?


Bezug
                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:06 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

Hier die Rechnung für die Nullstellen:
f(x)=0
0= ln(ln/x/)         /e
1= ln/x/             /e
e= /x/

=> e=x, x>0
   -e=x, x<0

Bezug
                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:07 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

ok, mein Definitionsbereich ist jetzt doch anders. Also x darf nicht -1, 0 und 1 sein

Bezug
                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:10 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Also 2 darf er nicht sein?

Tipp. Er muss größer als 1 sein. Mach dir das klar. ln(ln(1)) ist nicht definiert denn ln(1)=0 und damit ln(0)=nicht definiert. ich hoffe ich hab es einigermaßen verständlich ausgedrückt ;-)

[cap]

Bezug
                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:08 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

[ok]

Bezug
                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Wie bist du auf deinen Def.bereich gekommen? Der ist leider falsch!

[cap]

Bezug
                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:08 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

ich habs gemerkt ... upps. In der Mitteilung steht Version 2

Bezug
                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

:-)

Bezug
                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

ok, dann isses jetzt D= {x Element von R / -1 kleiner gleich x kleinergleich1} Jetzt aber oder?

Bezug
                                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Ich denke du meinst das richtige. Schreib das so auf. [mm] DB_{f}= \IR [/mm] |x>1

[cap]

Bezug
                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

wieso schreib ich das jetzt so auf?

x darf doch auch -2 sein oder? also ich weiß jetzt nicht was das B bedeutet und warum x nur > 1 sein soll...

Bezug
                                                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Wenn x>1 ist dann schließt das doch die -2 aus. x>1 bedeutet doch dass man alle zahlen einsetzen darf die größer als 1 sind. Also zb die Menge M={2,3,4,5,6,7,8,9,...} aber auch 1,001 , 1,002 , 1,003 usw. also wirklich alle zahlen die größer als 1 sind

[cap]

Bezug
                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

ja aber ich kann doch auch -2 einsetzen.
Also ln (ln /-2/)
das gibt dann ln(ln2)
und das dann -0,3665

Bezug
                                                                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:31 Di 05.02.2008
Autor: Marcel

Hallo,

lies' mal gerade den Post meinerseits:
https://matheraum.de/read?i=363306

und dann beantworte die Frage:
Für genau welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $\ln(|x|) [/mm] > 0$? Damit erhälst Du dann den maximalen Definitionsnbereich.

P.S.:
Ich sehe gerade, auch wenn ich das nur flüchtig gelesen habe, dass Du den maximalen Definitionsbereich schon korrekt angegeben hast. Er sieht schlußendlich so aus:
[mm] $(\IR \backslash\{0\}) \cap\{x \in \IR: \ln(|x|) > 0\}=\{x \in \IR: \ln(|x|) > 0\}=\{x \in \IR: |x| > 1\}=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)=\IR \backslash [/mm] [-1,1]$

Und [mm] $\IR \backslash [/mm] [-1,1]$ ist natürlich das gleiche wie [mm] $\IR \backslash \{x \in \IR: -1 \le x \le 1\}$, [/mm] was Du wohl hier:
https://matheraum.de/read?i=363300
meintest.

Tyskie hat vermutlich einfach den Betrag bei dem $x$ in [mm] $\ln(\ln(|x|))$ [/mm] übersehen...

P.P.S.:
Wenn Tyskie [mm] $DB_f$ [/mm] geschrieben hat, anstatt wie manch andere [mm] $D_f$, [/mm] so hat das $B$ dabei keinerlei Bedeutung. Er schreibt dann halt
[mm] $DB_f$ [/mm] für "Definitions-Bereich von $f$",
anstatt wie andere:
[mm] $D_f$ [/mm] für "Definitionsbereich von $f$"

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 00:46 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Danke für die Aufmerksamkeit..Natürlich der blöde Betreg ;-) Küken hatte vollkommen recht. es sind alle zahlen definiert die ungleich -1,0,1 sind :-)

[cap] Gruß

Bezug
                                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: |x| > 1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:56 Di 05.02.2008
Autor: Marcel


> ..Natürlich der blöde Betreg ;-) Küken hatte vollkommen recht. es sind alle
> zahlen definiert die ungleich -1,0,1 sind :-)

Damit es hier nicht zu Missverständnissen kommt:
Ich nehme an:
Du meinst oben nicht, dass $x [mm] \in \IR \backslash\{-1,0,1\}$ [/mm] der maximale Definitionsbereich ist, obwohl Du es so notierst.  
(Falls doch, würde ich Dich fragen, was denn [mm] \ln(\ln(|x|)) [/mm] für $|x| < 1$ wäre?)

Aber ich hoffe, Du meinst das folgende, was korrekt ist:
Du meinst, es darf NICHT $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ gelten, mit anderen Worten:
Es muss $|x|> 1$ gelten, oder nochmal in ein paar anderen Varianten notiert:
$x [mm] \in \IR \backslash [-1,1]=\{x \in \IR: x < -1\} \cup \{x \in \IR: x > 1\}=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)=...$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
                                        
Bezug
ln betragsfunktion: falsche Meldung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:27 Di 05.02.2008
Autor: leduart

Hallo
ich hab 2 Wendepunkte
War leider ein Fehler f''=0 liegt nicht im def.bereich, also vergiss es.
Gruss leduart

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ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

ok, fang ich mal mit der 1.Ableitung an:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{ln|x|} [/mm]
f''(x)= - [mm] \bruch{1}{(ln|x|)^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{|x|} [/mm]

Wenn ich das einzeln gleich null setzte bekomm ich doch keinen Wendepunkt...oder ist meine Ableitung falsch?

Bezug
                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:42 Di 05.02.2008
Autor: leduart

Hallo
> ok, fang ich mal mit der 1.Ableitung an:
>  f'(x)= [mm]\bruch{1}{ln|x|}[/mm]

Das ist falsch, du hast die Kettenregel vergessen!


>  f''(x)= - [mm]\bruch{1}{(ln|x|)^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm]

Folgefalsch

Hast du das mit dem Defgebiet jetzt richtig?
Und nochmal ich hatte nen Fehler es gibt keinen Wendepunkt.
Gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:46 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

dann ist die erste
Ableitung nochmal *1/ Betragx oder?

Bezug
                                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:48 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Ja richtig. Es ist [mm] f'(x)=\bruch{1}{|x|ln(|x|)} [/mm]

Bezug
                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:52 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

dann ist f''
- [mm] \bruch{1}{|x|^{2} ln|x|} (\bruch{1}{ln|x|} [/mm] + 1)

Bezug
                                                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Hast du da die Quotientenregel benutzt?
Wir haben als 1.Ableitung [mm] f'(x)=\bruch{1}{|x|ln(|x|)} [/mm]
Dann erhalte ich als 2.Ableitung: [mm] f''(x)=-\bruch{1}{(|x|ln(|x|))²} [/mm]

[cap]

Bezug
                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:01 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

Ne Produktregel ist das doch.
Da kann aber irgendwas nicht stimmen... hab jetzt nen Wendepunkt und das Teil ist doch Achsensymmetrisch wenn ich nicht irre...

Bezug
                                                                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:13 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Bin heute irgendwie nicht so gut drauf ;-)

Also meine 2.Ableitung ist natürlich falsch jedoch ist die verwendung der Quotientenregel meinerseits doch berechtigt. Also ich habe jetzt nach dem 2 rechen folgendes heraus. [mm] -\bruch{1+ln(x)}{(x*ln(x))²} [/mm] hab die betragstriche nicht mehr aufgeschrieben. wenns jetzt noch falsch ist dann denke ich das mich mei bett ruft. vielleicht ist marcel noch so nett und kann mal da drüber schauen ;-)

[cap]

Bezug
                                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:15 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

das hab ich ja auch ;)

Bezug
                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:06 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

deine innere Ableitung fehlt doch da noch bzw unten steht ein Produkt...

Bezug
                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:07 Di 05.02.2008
Autor: Marcel

Hallo,

die erste Ableitung:

>  Wir haben als 1.Ableitung [mm]f'(x)=\bruch{1}{|x|ln(|x|)}[/mm]

ist (fast) korrekt:
[mm] $f'(x)=\begin{cases} \frac{1}{x*\ln(x)} & \mbox{für } x > 1\\ \frac{1}{x*\ln(-x)} & \mbox{für } x < -1 \end{cases}$ [/mm]

Also:
[mm] $f'(x)=\frac{1}{x*\ln(|x|)}$ [/mm] ($|x|>1$)

>  Dann erhalte ich als 2.Ableitung:
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{(|x|ln(|x|))²}[/mm]

Diese solltest Du aber auch nochmal kontrollieren:
[mm] $f''(x)=-\frac{-1*(x*\ln(|x|))'}{x^2 \ln^2(|x|)}=...$ [/mm]

Den Zähler mittels Produktregel ableiten (man beachte wieder, dass auch hier $|x|>1$ gelten sollte).

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                                                        
Bezug
ln betragsfunktion: OK
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:12 Di 05.02.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> dann ist f''
>  - [mm]\bruch{1}{|x|^{2} ln|x|} (\bruch{1}{ln|x|}[/mm] + 1)

[ok]

Du kannst statt [mm] $|x|^2$ [/mm] auch einfach [mm] $x^2$ [/mm] schreiben.

Viele Grüße
  Rainer

Bezug
                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:15 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

dankesehr =)

Bezug
                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:41 Di 05.02.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo!
>  
> > dann ist f''
>  >  - [mm]\bruch{1}{|x|^{2} ln|x|} (\bruch{1}{ln|x|}[/mm] + 1)
>
> [ok]
>  
> Du kannst statt [mm]|x|^2[/mm] auch einfach [mm]x^2[/mm] schreiben.
>  
> Viele Grüße
>    Rainer

Edit:
Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil, das Ergebnis ist korrekt!

Der Rest bleibt dennoch stehen ;-):
Rechnen wir das alles nochmal durch:
[mm] $f(x)=\ln(\ln(|x|))$ [/mm] hat (alles für $|x|>1$) als Ableitung
[mm] $f'(x)=\frac{1}{\ln(|x|)}*\frac{1}{|x|}*\mbox{sign}(x)$, [/mm] also:
[mm] $f'(x)=\frac{1}{x*\ln(|x|)}$ [/mm] (für $|x|>1$)

Dann folgt:
[mm] $f''(x)=\frac{1}{x^2*\ln^2(|x|)}*(-1)*\left(\ln(|x|)+x*\frac{1}{|x|}*\mbox{sign}(x)\right)=-\frac{1}{x^2*\ln^2(|x|)}*\left(\ln(|x|)+1\right)$ [/mm]

Wenn das mit dem
[mm] $\mbox{sign}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x > 0\\ 0, & \mbox{für } x = 0\\ -1, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}$ [/mm]
unklar ist (man beachte: [mm] $|x|=x*\mbox{sign}(x)$), [/mm] dann sollte man zunächst einfach $f$ auf [mm] $\IR_{\ge 0} \cap \IR_{>1}$ [/mm] betrachten und dann beachten, dass $f(-x)=f(x)$ für alle $|x|>1$ gilt. Daraus folgt dann, dass $f'(-x)=-f'(x)$ für $|x| > 1$ gilt...
Daraus dann wiederum:
$f''(-x)=f''(x)$ für alle $|x| > 1$...

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                                                                
Bezug
ln betragsfunktion: nothing
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:42 Di 05.02.2008
Autor: Marcel

please delete
Bezug
                        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Di 05.02.2008
Autor: Zorba

Also ich schreib dir mal auf wie ichs meine:

[mm] f(x)=\begin{cases} ln(lnx), & \mbox{für } x \mbox{ positiv} \\ ln(ln(-x)), & \mbox{für } x \mbox{ negativ} \end{cases} [/mm]

Bezug
        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Di 05.02.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Hast du versucht dir ein Skizze zu machen wie die Funktion aussehen könnte?
Du weisst doch sicherlch wie die Funktion ln(x) aussieht. Dann könntest du vielleicht rückschlüsse ziehen wie die funktion f(x)=ln(ln(x)) aussieht. Zum Definitinsbereich: Da musst du schauen wann die Funktion nicht definiert ist. Bei f(x)=ln(x) ist das einfach. das sind  alle reellen Zahlen definiert die >0 sind. Also [mm] DB_{f}= \IR^{+} \{0}. [/mm] wie sieht dass dann für deine Funktion aus? Bei den Nullstelle: setze die Funktion gleich 0.- Mache dir das vielleicht erst an der Funktion f(x)=ln(x) klar. Da ist ja die einzige Nullstelle bei x=1 :-). Beim Ableiten: Stichwort verkettete Funktion. Extremstllen und wendestellen sollte mit dem vorangegangenem nund evtl auch kein problem mehr darstellen. du kannst gerne deine ergebnisse hier posten die wir dann gerne korrigieren falls nötig :-)- Noch ein Wort zum Betrag |x|! Was ist  |-2| es ist doch  |-2|=2 :-)

[cap] Gruß

Bezug
        
Bezug
ln betragsfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Di 05.02.2008
Autor: Marcel

Hallo,

vielleicht mal ein paar Überlegungen zu dem (maximalen) Definitionsbereich:
$x [mm] \mapsto \ln(|x|)$ [/mm] ist definiert für alle [mm] $x\not=0$ [/mm] (d.h. MAXIMALER Definitionsbereich im reellen ist [mm] $\IR \backslash \{0\}$), [/mm] weil $x [mm] \mapsto \ln(x)$ [/mm] (mit maximalen Definitionsbereich) für alle $x > 0$ definiert ist.
Dann überlege man sich:
Bei $x [mm] \mapsto \ln(\ln(|x|))$ [/mm] muss einerseits gelten:
Weil da [mm] $\ln(|x|)$ [/mm] steht, muss jedenfalls schonmal [mm] $x\not=0$ [/mm] gelten.

Nun wendet man aber auf [mm] $\ln(|x|)$ [/mm] nochmal den [mm] $\ln(.)$ [/mm] an, d.h. bei
[mm] $\ln(\underbrace{\ln(|x|)}_{=:r})=\ln(r)$ [/mm]
muss zudem [mm] $r=\ln(|x|) [/mm] > 0$ gelten.

Und für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $(\*)$ $\ln(|x|) [/mm] > 0$?

Schlussendlich ist dann der maximale Definitionsbereich:
[mm] $(\IR\backslash\{0\}) \cap \{x \in \IR: \ln(|x|) > 0\}=...$ [/mm]

Zudem kann man ja auch manchmal, wenn man keine Ahnung hat, ein wenig herumspielen:
[mm] $\ln(\ln(|x|))$ [/mm]

Macht das Sinn für:
- den Fall $x < -1$?
- den Fall $x=-1$?
- den Fall $x=-0,5$
- den Fall $x=0$
- den Fall $x=0,5$
- den Fall $x =1$?
- den Fall $x > 1$?

Denn bevor man ganz im Dunkeln tappt, ist es dann doch besser, zu versuchen, mit Spielereien eine Vermutung zu bekommen. Wenn man dann eine Vermutung hat, sieht man meist dann doch sehr schnell, wie man die Wahrheit dieser Vermutung begründet (sofern man nicht falsch liegt ;-)).

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
ln betragsfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:37 Di 05.02.2008
Autor: Kueken

Vielen Dank für alle eure Antworten... bin ein bisschen schlauer geworden =)!!

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