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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f: x -> ln(ln|x|)
Bestimmen Sie Definitionsbereich, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Skizze |
Hi!
Also ich möchte hier keine Lösung zu den Aufgaben. Ich habe generell das Problem mit dem Doppelten ln und dem Betrag in dem einen ln.
Ich weiß weder wie ich hier ableite (wegen dem Betrag) noch wie man Nullstellen hier berechnet.
D dürfte gleich [mm] R\0 [/mm] wegen dem Betrag oder?
Kann bitte jemand mir erklären wie ich hier vorgehe?
Dankeschön und Liebe Grüße
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Kueken |
es sollte R außer 0 heißen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Betrachte diese Funktion ohne Betragszeichen für positive x und mit nem - davor für negative x.
Für die Nullstellen: Wann ist der äussere ln = 0 bzw. wann ist ln überhaupt = 0 ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Danke dir schonmal, aber eins verstehe ich nicht "mit nem - davor für negative x. "
Wovor meinst du jetzt? So? : -ln(ln/x/)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Nein vor dem x!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
Also ich hab jetzt D=R außer 0
Nullstellen: e=x, x>0
-e=x, x<0
Extrema: gibbet it nisch
Wp: auch nich
Stimmt das soweit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Was meinst du mit e=x?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
Hier die Rechnung für die Nullstellen:
f(x)=0
0= ln(ln/x/) /e
1= ln/x/ /e
e= /x/
=> e=x, x>0
-e=x, x<0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
ok, mein Definitionsbereich ist jetzt doch anders. Also x darf nicht -1, 0 und 1 sein
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Hallo!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Hallo!
Wie bist du auf deinen Def.bereich gekommen? Der ist leider falsch!
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
ich habs gemerkt ... upps. In der Mitteilung steht Version 2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
ok, dann isses jetzt D= {x Element von R / -1 kleiner gleich x kleinergleich1} Jetzt aber oder?
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Hallo!
Ich denke du meinst das richtige. Schreib das so auf. [mm] DB_{f}= \IR [/mm] |x>1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
wieso schreib ich das jetzt so auf?
x darf doch auch -2 sein oder? also ich weiß jetzt nicht was das B bedeutet und warum x nur > 1 sein soll...
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Hallo!
Wenn x>1 ist dann schließt das doch die -2 aus. x>1 bedeutet doch dass man alle zahlen einsetzen darf die größer als 1 sind. Also zb die Menge M={2,3,4,5,6,7,8,9,...} aber auch 1,001 , 1,002 , 1,003 usw. also wirklich alle zahlen die größer als 1 sind
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
ja aber ich kann doch auch -2 einsetzen.
Also ln (ln /-2/)
das gibt dann ln(ln2)
und das dann -0,3665
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
lies' mal gerade den Post meinerseits:
https://matheraum.de/read?i=363306
und dann beantworte die Frage:
Für genau welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $\ln(|x|) [/mm] > 0$? Damit erhälst Du dann den maximalen Definitionsnbereich.
P.S.:
Ich sehe gerade, auch wenn ich das nur flüchtig gelesen habe, dass Du den maximalen Definitionsbereich schon korrekt angegeben hast. Er sieht schlußendlich so aus:
[mm] $(\IR \backslash\{0\}) \cap\{x \in \IR: \ln(|x|) > 0\}=\{x \in \IR: \ln(|x|) > 0\}=\{x \in \IR: |x| > 1\}=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)=\IR \backslash [/mm] [-1,1]$
Und [mm] $\IR \backslash [/mm] [-1,1]$ ist natürlich das gleiche wie [mm] $\IR \backslash \{x \in \IR: -1 \le x \le 1\}$, [/mm] was Du wohl hier:
https://matheraum.de/read?i=363300
meintest.
Tyskie hat vermutlich einfach den Betrag bei dem $x$ in [mm] $\ln(\ln(|x|))$ [/mm] übersehen...
P.P.S.:
Wenn Tyskie [mm] $DB_f$ [/mm] geschrieben hat, anstatt wie manch andere [mm] $D_f$, [/mm] so hat das $B$ dabei keinerlei Bedeutung. Er schreibt dann halt
[mm] $DB_f$ [/mm] für "Definitions-Bereich von $f$",
anstatt wie andere:
[mm] $D_f$ [/mm] für "Definitionsbereich von $f$"
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
> ..Natürlich der blöde Betreg  Küken hatte vollkommen recht. es sind alle
> zahlen definiert die ungleich -1,0,1 sind 
Damit es hier nicht zu Missverständnissen kommt:
Ich nehme an:
Du meinst oben nicht, dass $x [mm] \in \IR \backslash\{-1,0,1\}$ [/mm] der maximale Definitionsbereich ist, obwohl Du es so notierst.
(Falls doch, würde ich Dich fragen, was denn [mm] \ln(\ln(|x|)) [/mm] für $|x| < 1$ wäre?)
Aber ich hoffe, Du meinst das folgende, was korrekt ist:
Du meinst, es darf NICHT $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ gelten, mit anderen Worten:
Es muss $|x|> 1$ gelten, oder nochmal in ein paar anderen Varianten notiert:
$x [mm] \in \IR \backslash [-1,1]=\{x \in \IR: x < -1\} \cup \{x \in \IR: x > 1\}=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)=...$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Di 05.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab 2 Wendepunkte
War leider ein Fehler f''=0 liegt nicht im def.bereich, also vergiss es.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
ok, fang ich mal mit der 1.Ableitung an:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{ln|x|}
[/mm]
f''(x)= - [mm] \bruch{1}{(ln|x|)^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{|x|}
[/mm]
Wenn ich das einzeln gleich null setzte bekomm ich doch keinen Wendepunkt...oder ist meine Ableitung falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Di 05.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ok, fang ich mal mit der 1.Ableitung an:
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{ln|x|}[/mm]
Das ist falsch, du hast die Kettenregel vergessen!
> f''(x)= - [mm]\bruch{1}{(ln|x|)^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{|x|}[/mm]
Folgefalsch
Hast du das mit dem Defgebiet jetzt richtig?
Und nochmal ich hatte nen Fehler es gibt keinen Wendepunkt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
dann ist die erste
Ableitung nochmal *1/ Betragx oder?
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Hallo!
Ja richtig. Es ist [mm] f'(x)=\bruch{1}{|x|ln(|x|)}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
dann ist f''
- [mm] \bruch{1}{|x|^{2} ln|x|} (\bruch{1}{ln|x|} [/mm] + 1)
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Hallo!
Hast du da die Quotientenregel benutzt?
Wir haben als 1.Ableitung [mm] f'(x)=\bruch{1}{|x|ln(|x|)}
[/mm]
Dann erhalte ich als 2.Ableitung: [mm] f''(x)=-\bruch{1}{(|x|ln(|x|))²}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
Ne Produktregel ist das doch.
Da kann aber irgendwas nicht stimmen... hab jetzt nen Wendepunkt und das Teil ist doch Achsensymmetrisch wenn ich nicht irre...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
das hab ich ja auch ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
deine innere Ableitung fehlt doch da noch bzw unten steht ein Produkt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die erste Ableitung:
> Wir haben als 1.Ableitung [mm]f'(x)=\bruch{1}{|x|ln(|x|)}[/mm]
ist (fast) korrekt:
[mm] $f'(x)=\begin{cases} \frac{1}{x*\ln(x)} & \mbox{für } x > 1\\ \frac{1}{x*\ln(-x)} & \mbox{für } x < -1 \end{cases}$
[/mm]
Also:
[mm] $f'(x)=\frac{1}{x*\ln(|x|)}$ [/mm] ($|x|>1$)
> Dann erhalte ich als 2.Ableitung:
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{(|x|ln(|x|))²}[/mm]
Diese solltest Du aber auch nochmal kontrollieren:
[mm] $f''(x)=-\frac{-1*(x*\ln(|x|))'}{x^2 \ln^2(|x|)}=...$
[/mm]
Den Zähler mittels Produktregel ableiten (man beachte wieder, dass auch hier $|x|>1$ gelten sollte).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Di 05.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> dann ist f''
> - [mm]\bruch{1}{|x|^{2} ln|x|} (\bruch{1}{ln|x|}[/mm] + 1)
Du kannst statt [mm] $|x|^2$ [/mm] auch einfach [mm] $x^2$ [/mm] schreiben.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
dankesehr =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:41 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> > dann ist f''
> > - [mm]\bruch{1}{|x|^{2} ln|x|} (\bruch{1}{ln|x|}[/mm] + 1)
>
>
>
> Du kannst statt [mm]|x|^2[/mm] auch einfach [mm]x^2[/mm] schreiben.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Edit:
Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil, das Ergebnis ist korrekt!
Der Rest bleibt dennoch stehen :
Rechnen wir das alles nochmal durch:
[mm] $f(x)=\ln(\ln(|x|))$ [/mm] hat (alles für $|x|>1$) als Ableitung
[mm] $f'(x)=\frac{1}{\ln(|x|)}*\frac{1}{|x|}*\mbox{sign}(x)$, [/mm] also:
[mm] $f'(x)=\frac{1}{x*\ln(|x|)}$ [/mm] (für $|x|>1$)
Dann folgt:
[mm] $f''(x)=\frac{1}{x^2*\ln^2(|x|)}*(-1)*\left(\ln(|x|)+x*\frac{1}{|x|}*\mbox{sign}(x)\right)=-\frac{1}{x^2*\ln^2(|x|)}*\left(\ln(|x|)+1\right)$
[/mm]
Wenn das mit dem
[mm] $\mbox{sign}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x > 0\\ 0, & \mbox{für } x = 0\\ -1, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}$
[/mm]
unklar ist (man beachte: [mm] $|x|=x*\mbox{sign}(x)$), [/mm] dann sollte man zunächst einfach $f$ auf [mm] $\IR_{\ge 0} \cap \IR_{>1}$ [/mm] betrachten und dann beachten, dass $f(-x)=f(x)$ für alle $|x|>1$ gilt. Daraus folgt dann, dass $f'(-x)=-f'(x)$ für $|x| > 1$ gilt...
Daraus dann wiederum:
$f''(-x)=f''(x)$ für alle $|x| > 1$...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:42 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
please delete
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Also ich schreib dir mal auf wie ichs meine:
[mm] f(x)=\begin{cases} ln(lnx), & \mbox{für } x \mbox{ positiv} \\ ln(ln(-x)), & \mbox{für } x \mbox{ negativ} \end{cases}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vielleicht mal ein paar Überlegungen zu dem (maximalen) Definitionsbereich:
$x [mm] \mapsto \ln(|x|)$ [/mm] ist definiert für alle [mm] $x\not=0$ [/mm] (d.h. MAXIMALER Definitionsbereich im reellen ist [mm] $\IR \backslash \{0\}$), [/mm] weil $x [mm] \mapsto \ln(x)$ [/mm] (mit maximalen Definitionsbereich) für alle $x > 0$ definiert ist.
Dann überlege man sich:
Bei $x [mm] \mapsto \ln(\ln(|x|))$ [/mm] muss einerseits gelten:
Weil da [mm] $\ln(|x|)$ [/mm] steht, muss jedenfalls schonmal [mm] $x\not=0$ [/mm] gelten.
Nun wendet man aber auf [mm] $\ln(|x|)$ [/mm] nochmal den [mm] $\ln(.)$ [/mm] an, d.h. bei
[mm] $\ln(\underbrace{\ln(|x|)}_{=:r})=\ln(r)$
[/mm]
muss zudem [mm] $r=\ln(|x|) [/mm] > 0$ gelten.
Und für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $(\*)$ $\ln(|x|) [/mm] > 0$?
Schlussendlich ist dann der maximale Definitionsbereich:
[mm] $(\IR\backslash\{0\}) \cap \{x \in \IR: \ln(|x|) > 0\}=...$
[/mm]
Zudem kann man ja auch manchmal, wenn man keine Ahnung hat, ein wenig herumspielen:
[mm] $\ln(\ln(|x|))$
[/mm]
Macht das Sinn für:
- den Fall $x < -1$?
- den Fall $x=-1$?
- den Fall $x=-0,5$
- den Fall $x=0$
- den Fall $x=0,5$
- den Fall $x =1$?
- den Fall $x > 1$?
Denn bevor man ganz im Dunkeln tappt, ist es dann doch besser, zu versuchen, mit Spielereien eine Vermutung zu bekommen. Wenn man dann eine Vermutung hat, sieht man meist dann doch sehr schnell, wie man die Wahrheit dieser Vermutung begründet (sofern man nicht falsch liegt ).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Di 05.02.2008 | | Autor: | Kueken |
Vielen Dank für alle eure Antworten... bin ein bisschen schlauer geworden =)!!
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