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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - quadratische Funktional
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quadratische Funktional: Wie drücke ich phi aus?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Do 03.12.2020
Autor: rem

Aufgabe
Assume the quadratic function [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^{T}Ax [/mm] − [mm] b^{T}x, x\in\IR^{2} [/mm] with A = [mm] \pmat{2 & -1\\ -1 & 2} [/mm] and some arbitrary [mm] b\in\IR^{2}. [/mm]  Determine the eigenvectors and eigenvalues of  A and represent the function [mm] \phi [/mm] in the coordinates of the orthonormal basis system consisting of the normalized eigenvectors.

Hallo,

ich habe ein Problem mit diesem Beispiel. Also der erste Teil ist mir klar, eigenwerte und eigenvektoren von A ausrechnen. Für die Eigenwerte bekomme ich [mm] \lambda_1 [/mm] = +1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = +3 heraus. Für die zugehörigen Eigenwerte, erhalte ich dann [mm] \nu_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] sowie [mm] \nu_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}. [/mm]
Was aber ist im zweiten Teil der Aufgabe zu tun, also "[...]represent the function [mm] \phi [/mm] in the coordinates of the orthonormal basis system consisting of the normalized eigenvectors."? Sollen hier einfach die normalisierten Eigenvektoren für x in die quadratische Formel eingesetzt werden? Ich danke euch für jede Hilfe.

LG

        
Bezug
quadratische Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:57 Fr 04.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

die Darstellung von [mm] \phi [/mm] hängt ja von A ab… die Darstellung von A ist aber basisabhängig.
Nun hast du mit [mm] ${v_1,v_2}$ [/mm] eine weitere Basis gegeben (die im Übrigen noch nicht normiert ist, aber schon orthogonal, warum?).

Du sollst nun A (und damit [mm] \phi) [/mm] angeben in Bezug auf eine orthonormierte Basis aus den Eigenvektoren.
Heißt:
1.) Normiere die Basis
2.) Führe eine Basistransformation für A von der alten zur neuen Basis durch.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
quadratische Funktional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 So 06.12.2020
Autor: rem

Danke für deine Hilfe. Also ich verstehe das jetzt so:
Wie haben ja die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }. [/mm] Diese kann ich für das lineare Glg. System auch schreiben als [mm] x_1 \vektor{2 \\ -1} [/mm] + [mm] x_2\vektor{-1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{b_1 \\ b_2}. [/mm] Nun habe ich eine neue Basis von den orthonormalen eigenvectoren erhalten: [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}} [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}}. [/mm] B = [mm] \pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}} [/mm]
Nun wollen wir einen Basiswechsel der Matrix A durchführen. D.h.:

[mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 } \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}} \underbrace{\pmat{ T_{11} & T_{12} \\ T_{12} & T_{22}}}_{T} \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] . Dabei ist T meine Transformationsmatrix.

Stimmt das soweit?

Bezug
                        
Bezug
quadratische Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Mo 07.12.2020
Autor: meili

Hallo rem,

> Danke für deine Hilfe. Also ich verstehe das jetzt so:
>  Wie haben ja die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 }.[/mm]
> Diese kann ich für das lineare Glg. System auch schreiben
> als [mm]x_1 \vektor{2 \\ -1}[/mm] + [mm]x_2\vektor{-1 \\ 2}[/mm] =
> [mm]\vektor{b_1 \\ b_2}.[/mm] Nun habe ich eine neue Basis von den
> orthonormalen eigenvectoren erhalten: [mm]v_1[/mm] =
> [mm]\vektor{1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}}[/mm] und [mm]v_2[/mm] =
> [mm]\vektor{-1/\wurzel{2}\\ 1/\wurzel{2}}.[/mm] B = [mm]\pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}}[/mm]
>  
> Nun wollen wir einen Basiswechsel der Matrix A
> durchführen. D.h.:
>  
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 } \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] = [mm]\pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}} \underbrace{\pmat{ T_{11} & T_{12} \\ T_{12} & T_{22}}}_{T} \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> . Dabei ist T meine Transformationsmatrix.
>  
> Stimmt das soweit?  

[ok]

und

[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } = \pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}} \underbrace{\pmat{ T_{11} & T_{12} \\ T_{12} & T_{22}}}_{T} [/mm]
also
[mm]T = \pmat{ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & 1/\wurzel{2}}^{-1}[/mm]

Gruß
meili

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