quadratische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Erstens muss ich sagen, dass ich bei den linearen Gleichungssystemen wohl falsch bin, aber ich habe nirgends ein Unterforum zu quadratischen Gleichungen gefunden. Also, ich bin mich momentan auf eine Mathematikabschlussprüfung am vorbereiten und da ich auf dem Gymnasium wohl den schlechtesten Mathematiklehrer aller Zeiten hatte (und dies an dem Gymnasium an dem Einstein studiert hat :D) habe ich so wirklich keine Ahnung von Mathematik weshalb ich bei den Basics beginnen muss. Also mit quadratischen Gleichungen an sich habe ich keine Probleme, bei den lernzielen steht allerdings folgendes:
"Die Kandidierenden können ... Gleichungen zweiten Grades und solche die darauf zurückgeführt werden können, lösen"
Also wie gesagt mit Gleichungen 2. Grades habe ich keine Probleme, jedoch mit denen die darauf zurückgeführt werden können. Das sind meiner Ansicht nach doch Gleichungen 3. und 4. Grades die direkt auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können oder? Nun habe ich mich also damit beschäftigt wie man Gleichungen 3. Grades löst, jedoch als ich dachte ich weiss wie es geht, habe ich gelesen dass duzende verschiedene Lösungswege geht die alle nur bei bestimmten Gleichungen 3. bzw. 4. Grades angewendet werden können. |
Meine Frage ist also wie kann ich Gleichungen lösen die auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können bzw. können alle Gleichungen 3. bzw. 4. Grades auf quadtratische Lösungen zurückgeführt werden, oder bin ich bei Gleichungen 3. und 4. Grades komplett falsch?
Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du Gleichungen zweiten, dritten und vierten Gerades lösen kannst ist das gut.
Quadratische Gleichungen sind ja sowas wie [mm] $ax^2+bx+c=0$. [/mm] Dafür gibt es die p-q-Formel, falls man $a=1$ hat, oder die Mitternachts-formel.
Falls man sich diese nicht merken will, kann man sich jede quadratische Gleichung auch via Quadratischer Ergänzung lösen. Das hat man ja auch ganz zu anfang gemacht, um die oben genannten Formeln herzuleiten.
Kubische Gleichungen der Form [mm] $ax^3+bx^2+cx+d=0$ [/mm] kann man meist mit einem Trick lösen:
Man rät eine Nullstelle (die meist ganzzahlig ist), und macht dann eine Polynomdivison. Wenn jetzt zB [mm] $x_0$ [/mm] eine Nullstelle der Funktion oben ist, also es gilt [mm] $ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d=0$, [/mm] dann teilt man [mm] $ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] durch [mm] $(x-x_0)$ [/mm] und erniedrigt dadurch den Grad des (Rest-)Polynoms auf 2, das man dann wieder mit den Tools von oben lösen kann. Dabei gibt es immer die Kontrolle, weil am Ende in der Differenz beim schriftlichen dividieren eine 0 vorkommen muss.
Polynome vierten Gerades, da gibt es mehrere möglichkeiten. Wenn man wirklich ein ganz "allgemeines" Polynom hat, dann kann man auch da versuchen, mit Polynomdivison auf ein Restpolynom 3. Gerades zu kommen, und das dann nochmal mit Polynomdivision behandeln, oder man hat eine Gleichung der Form
[mm] $ax^4+bx^2+d=0$
[/mm]
Da hilt die Substitution [mm] $t=x^2$ [/mm] weiter, weil man dann die Gleichung umschreiben kann als
[mm] $at^2+bt+d=0$, [/mm] und man hat ein effektives Polynom zweiter Ordnung. Dann bekommt man Ergebnisse für t, die man dann mit Hilfe von [mm] $t=x^2$ [/mm] wieder nach x auflösen kann.
Generell gilt auch immer: Ein Polynom hat maximal so viele Nullstellen wie seine Ordnung.
Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen weiter.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Ok Danke, also hab mal die Polynomdivison an folgender Aufgabe geübt:
[mm] -2x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] - 10x + 8 = 0 |
Also durch probieren habe ich herausgefunden, dass die Nullstelle = 1 ist.
Also dann folgendermassen:
[mm] -2x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] - 10x + 8 : (x - 1)
Polynomdivision durchgeführt und folgende quadratische gleichung erhalten (Polynomdivision ist natürlich aufgegangen):
[mm] -2x^2 [/mm] + 2x - 8
Nun will ich die restlichen beiden Nullstellen herausfinden, mit der Mitternachtsformel ist dies nicht möglich also habe ich die p - q Formel genommen:
p = 2
q = -8
Stimmts soweit?
x1,2 = -(p/2) +- [mm] \wurzel{(p/2)^2-q}
[/mm]
eingesetzt:
x1,2 = -(2/2) +- [mm] \wurzel{(2/2)^2-(-8)}
[/mm]
gibt mir als Lösung für x1 = 2 und für x2 = -4
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Fr 27.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok Danke, also hab mal die Polynomdivison an folgender
> Aufgabe geübt:
>
> [mm]-2x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] - 10x + 8 = 0
> Also durch probieren habe ich herausgefunden, dass die
> Nullstelle = 1 ist.
>
> Also dann folgendermassen:
>
> [mm]-2x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] - 10x + 8 : (x - 1)
>
> Polynomdivision durchgeführt und folgende quadratische
> gleichung erhalten (Polynomdivision ist natürlich
> aufgegangen):
>
> [mm]-2x^2[/mm] + 2x - 8
Das sieht gut aus.
>
> Nun will ich die restlichen beiden Nullstellen
> herausfinden, mit der Mitternachtsformel ist dies nicht
> möglich also habe ich die p - q Formel genommen:
>
Doch, bei der Mitternachtsformel gilt: a=-2, b=2 und c=-8
> p = 2
>
> q = -8
>
Die p-q-Formel geht dann natürlich auch, aber dazu muss erst die -2 vor dem x² "verschwinden", also:
[mm] -2x^{2}+2x-8=0 [/mm]
[mm] \gdw x^{2}-x+4=0
[/mm]
Jetzt gilt: p=-1, q=4
> Stimmts soweit?
>
> x1,2 = -(p/2) +- [mm]\wurzel{(p/2)^2-q}[/mm]
>
> eingesetzt:
>
> x1,2 = -(2/2) +- [mm]\wurzel{(2/2)^2-(-8)}[/mm]
>
> gibt mir als Lösung für x1 = 2 und für x2 = -4
>
> Stimmt das so?
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Marius6d |
hm ok, aber wie ist dann die Lösung, weil so ist die Diskriminante ja negativ und daraus kann ich ja keine Lösung ziehen! ist das Resultat dann: 0.5 +- [mm] \wurzel{-3.75} [/mm] ?
Darum hat die Mitternachtsformel auch nicht funktioniert weil ja logischerweise auch dort die Diskriminante negativ ist.
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Hallo, deine Überlegung ist so korrekt, also hat deine Ausgangsgleichung nur die Lösung x=1, Steffi
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> Meine Frage ist also wie kann ich Gleichungen lösen die auf
> quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können
Hallo,
auf eine quadratische Gleichungen zurückführen kannst Du z.B. [mm] x^{26} [/mm] + [mm] 6x^{13} [/mm] +8=0, indem Du setzt [mm] x^{13}=z, [/mm]
allgemein also Gleichungen der Form [mm] a*x^{2*n} +bx^n [/mm] +c=0.
Aber auch z.B. sowas kannst Du auf quadratische Gleichungen zurückführen:
[mm] e^{2x} -6e^x [/mm] +8=0, indem Du setzt [mm] z=e^x.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Erstmals vielen Dank für eure Hilfe, mit Gleichungen 3. Grades habe ich nun kein Problem mehr und ein Teil der Gleichungen 4. Grades kann ich auch schon lösen. Nur habe ich ein Problem mit dem binomischen Lehrsatz. |
Also ich habe wirkli viele einträge gesucht aber irgendwie begreife ich nicht wie ich den binomischen Lehrsatz anwenden muss.
Also ich habe folgende Gleichung 4. Grades:
[mm] 16x^4 [/mm] + [mm] 32x^3 [/mm] + [mm] 24x^2 [/mm] + 8x + 1 = 81
Nun soll ich den binomischen Lehrsatz anwenden.
Ich weiss, dass es abgekürzt [mm] (2x+1)^4 [/mm] ist.
Aber wie komme ich von hier an wieder auf die ursprüngliche Gleichung. Ich habe keine Ahnung was mit was multipliziert werden muss!
[mm] (2x+1)^4 [/mm] = (2x+1) * (2x+1) * (2x+1) * (2x+1)
Wie gehe ich hier vor?
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Hallo Marius6d,
> Erstmals vielen Dank für eure Hilfe, mit Gleichungen 3.
> Grades habe ich nun kein Problem mehr und ein Teil der
> Gleichungen 4. Grades kann ich auch schon lösen. Nur habe
> ich ein Problem mit dem binomischen Lehrsatz.
> Also ich habe wirkli viele einträge gesucht aber irgendwie
> begreife ich nicht wie ich den binomischen Lehrsatz
> anwenden muss.
>
> Also ich habe folgende Gleichung 4. Grades:
>
> [mm]16x^4[/mm] + [mm]32x^3[/mm] + [mm]24x^2[/mm] + 8x + 1 = 81
>
> Nun soll ich den binomischen Lehrsatz anwenden.
>
> Ich weiss, dass es abgekürzt [mm](2x+1)^4[/mm] ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist doch schon mehr als die halbe Miete!
>
> Aber wie komme ich von hier an wieder auf die ursprüngliche
> Gleichung. Ich habe keine Ahnung was mit was multipliziert
> werden muss!
>
> [mm](2x+1)^4[/mm] = (2x+1) * (2x+1) * (2x+1) * (2x+1)
Du hast doch die linke Seite der Ausgangsgleichung, also [mm] $16x^4+32x^3+24x^2+8x+1$ [/mm] so schön zusammengefasst zu [mm] $(2x+1)^4$
[/mm]
Damit wird doch die Gleichung [mm] $16x^4+32x^3+24x^2+8x+1=81$ [/mm] zu [mm] $(2x+1)^4=81$
[/mm]
Und [mm] $81=3^4$
[/mm]
Also bleibt zu lösen: [mm] $(2x+1)^4=3^4$ [/mm] ...
Und das ist doch nicht mehr schwierig
>
> Wie gehe ich hier vor?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Marius6d |
Danke für die Antwort aber ich glaube du hast, meine Frage falsch verstanden. Wie ich von [mm] (2x+1)^4 [/mm] auf die Lösung für x komme, dass weiss ich, aber ich weiss nicht wie ich [mm] (2x+1)^4 [/mm] ausmultiplizieren muss um wieder auf [mm] 16x^4 [/mm] + [mm] 32x^3 [/mm] + [mm] 24x^2 [/mm] + 8x + 1 = 81 zu kommen.
[mm] (2x+1)^4 [/mm] habe ich geraten und dann versucht zurückzurechnen, als das nicht geklappt hat habe ich es mal den Taschenrechner für mich rechnen lassen, aber das ist ja nicht der Sinn der Sache :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mo 30.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort aber ich glaube du hast, meine Frage
> falsch verstanden. Wie ich von [mm](2x+1)^4[/mm] auf die Lösung für
> x komme, dass weiss ich, aber ich weiss nicht wie ich
> [mm](2x+1)^4[/mm] ausmultiplizieren muss um wieder auf [mm]16x^4[/mm] + [mm]32x^3[/mm]
> + [mm]24x^2[/mm] + 8x + 1 = 81 zu kommen.
>
> [mm](2x+1)^4[/mm] habe ich geraten und dann versucht
> zurückzurechnen, als das nicht geklappt hat habe ich es mal
> den Taschenrechner für mich rechnen lassen, aber das ist ja
> nicht der Sinn der Sache :D
Du kannst den binomischen Satz
[mm] $(a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n-k}b^k$
[/mm]
bemühen (wenn Du ihn kennst) oder in Deinem Fall etwa so rechnen:
[mm] $(2x+1)^4 [/mm] = [mm] ((2x+1)^2)^2 [/mm] = [mm] (4x^2+4x+1)^2 [/mm] = ..... $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Marius6d |
Vielen Dank für eure Hilfe, ich habe gerade selber herausgefunden wie es funktioniert! Danke
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