trennung der variabeln < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | kann mir jemand erklären was heißt Lösen einer differentialgleichung durch Trennung der Variabeln? |
da habe ich als Beispiel:
[mm] y'(x)=\bruch{exp(x)}{y}
[/mm]
[mm] y(0)=\wurzel{2}
[/mm]
Die schreibweisen sind mir total unbekannt!!
vielen dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mo 05.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schreibst [mm] y'=\bruch{dy}{dx} [/mm] und damit
[mm] \bruch{dy}{dx}=e^x/y
[/mm]
[mm] y*dy=e^x*dx
[/mm]
beide Seiten integrieren. Integrationskonstanten auf einer sete zusammenfassen. die konstante bestimmen, indem man in die gefundene Losung den Anfangswert einsetzt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | danke :)
ich habe folgendes :
(exp (x) dx)' = exp(x)
und (y dy)'= 1 |
ist das richtig ? falls ja wie setze ich die werte ein?
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Hallo safsaf,
> danke :)
>
> ich habe folgendes :
>
> (exp (x) dx)' = exp(x)
> und (y dy)'= 1 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> ist das richtig ? falls ja wie setze ich die werte ein?
Du solltest doch beide Seiten integrieren
$y \ dy \ = [mm] \exp(x) [/mm] \ dx \ \ [mm] \mid\int$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \int{y \ dy} [/mm] \ = [mm] \int{exp(x) \ dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2}y^2 [/mm] \ = exp(x) \ + \ C$
Nun nach $y$ auflösen und mit der Anfangsbedingung [mm] $y(0)=\sqrt{2}$ [/mm] das $C$ berechnen.
Wie lautet dann die Lösung?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | ich komm mit der frage leider nicht klar |
ich habe verstanden wie du integriert hast aber um c zu berechnen und y aufzulösen habe ich null ahnung
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> ich komm mit der frage leider nicht klar
> ich habe verstanden wie du integriert hast aber um c zu
> berechnen und y aufzulösen habe ich null ahnung
>
$ [mm] \Rightarrow \frac{1}{2}y^2 [/mm] \ = exp(x) \ + \ C $
war die letzte formel, mit 2 multiplizieren und dann die wurzel ziehen sollte ja nicht der haken sein.
am ende hast du dann y=...
und nun musst du mit $ [mm] y(0)=\sqrt{2}= [/mm] $ lösung von oben mit x=0
dein c genau berechnen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | dann habe ich [mm] y=\wurzel{e^{x}} [/mm] + [mm] \wurzel{2c}
[/mm]
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ist c= 0?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | [mm] y=\wurzel{2e^x} [/mm] + [mm] \wurzel{2c} [/mm] |
und c=0??
ist es soweit richtig?
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Hallo safsaf,
> [mm]y=\wurzel{2e^x}[/mm] + [mm]\wurzel{2c}[/mm]
Hier hast Du falsch umgeformt.
Korrekt muss das lauten:
[mm]y=\wurzel{2e^x+\red{2c}}[/mm]
> und c=0??
>
> ist es soweit richtig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | [mm] \wurzel{2e^x +2c} [/mm] |
[mm] e^x=1 [/mm] dann habe ich wieder c=0?
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Hallo safsaf,
> [mm]\wurzel{2e^x +2c}[/mm]
> [mm]e^x=1[/mm] dann habe ich wieder c=0?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | jetzt wie schreibt man die lösung? |
[mm] y(x)=\wurzel{2e^x} [/mm] ?
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Hallo, korrekt, du kannst doch für dich immer die Probe machen
[mm] y'=\bruch{e^{x}}{y}
[/mm]
[mm] y=\wurzel{2e^{x}} [/mm] und [mm] y'=\bruch{2e^{x}}{2\wurzel{2e^{x}}}=\bruch{e^{x}}{\wurzel{2e^{x}}}=\bruch{e^{x}}{y}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | ich hab nun folgendes :
[mm] y'=\bruch{y}{x} [/mm] und y(1)=2 |
wenn ich die beiden seiten integrieren will komme ich nicht auf gleichen variabeln auf gleich seite!!
y'= dy/dx=x/y wie kann ich das integrieren!
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> ich hab nun folgendes :
> [mm]y'=\bruch{y}{x}[/mm] und y(1)=2
> wenn ich die beiden seiten integrieren will komme ich
> nicht auf gleichen variabeln auf gleich seite!!
>
> y'= dy/dx=x/y wie kann ich das integrieren!
alles mit x auf die rechte seite und alles mit y auf die linke! dann auf beiden seiten integrieren
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | war nochmal falsch zitiert,
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ich hab nun y'=dy/dx=y/x so kann ich die nicht auf die gleiche seite ziehen oder ?
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Hallo, multipliziere mit dx, dividiere durch y, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | so erhalte ich y/dy = x/dx richtig? |
dann habe ich wieder [mm] 1/2x^2= 1/2y^2
[/mm]
es ist aber verwirrend?
es ist nicht richtig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo safsaf!
> so erhalte ich y/dy = x/dx richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, Du solltest erhalten:
[mm] $$\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{dx}{x}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 05.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | $ [mm] \bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{dx}{x} [/mm] $ das habe ich am anfang aber wie kann ich das integrieren? |
es ist anders als beim ersten fall !!
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> [mm]\bruch{dy}{y} \ = \ \bruch{dx}{x}[/mm] das habe ich am
> anfang aber wie kann ich das integrieren?
[mm] $\int \bruch{1}{y}dy=\int \bruch{1}{x}dx$
[/mm]
> es ist anders als beim ersten fall !!
Vielleicht fällt es dir einfacher, wenn du alles explizit aufschreibst. Eine DGL mit getrennten Variablen sieht so aus:
$y'=f(x)g(y)$ mit [mm] $y(x_0)=y_0$
[/mm]
Jetzt bildest du die folgenden Stammfunktionen:
[mm] $F(x)=\int_{x_0}^x{f(t)dt}$ [/mm] und [mm] $G(y)=\int_{y_0}^y{\frac{1}{g(t)}dt}$
[/mm]
Dann setzt du [mm] $G(\varphi [/mm] (x))=F(x)$
Am Beispiel konkret:
$f(x)=x,g(y)=y$
[mm] $F(x)=\ln(\frac{x}{x_0})
[/mm]
[mm] $G(y)=\ln(\frac{y}{y_0})
[/mm]
[mm] $G(\varphi(x))=F(x)\gdw \ln(\frac{\varphi(x)}{y_0})=\ln(\frac{x}{x_0})\gdw \varphi(x)=\ldots$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Di 06.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | wie integriere ich weiter? |
[mm] \integral \bruch{1}{y} [/mm] dy = [mm] \bruch{-\bruch{1}{2}y^{2}}{y^{2}}
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
ist es soweit richtig? habe die quotientenregel verwendet?
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Hallo,
> wie integriere ich weiter?
> [mm]\integral \bruch{1}{y}[/mm] dy =
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}y^{2}}{y^{2}}[/mm]
> = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> ist es soweit richtig? habe die quotientenregel verwendet?
Ich kenne keine Quotientenregel für das Integrieren ...
Es ist [mm] $\int{\frac{1}{y} \ dy}=\ln(|y|)+C$
[/mm]
Das solltest du aus der Schule aber wissen ...
Mein lieber Herr Gesangsverein ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 06.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | wenn ich aber diese Gleichung habe ?
[mm] y'=\bruch{y}{x} [/mm] und wenn ich es integriere komme ich dann auf : ln(y)+c=ln(x)+d |
gegeben ist y(0)=2 wie kann ich das in meiner gleichung einsetzen?
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Hallo safsaf,
> wenn ich aber diese Gleichung habe ?
> [mm]y'=\bruch{y}{x}[/mm] und wenn ich es integriere komme ich dann
> auf : ln(y)+c=ln(x)+d
> gegeben ist y(0)=2 wie kann ich das in meiner gleichung
> einsetzen?
Bestimme zunächst die Lösung [mm]y \left( x \right)= \ ...[/mm]
Setze dann in die Lösung die Anfangsbedingung [mm]y\left(0\right)=2[/mm]
ein, und bestimme hieraus die Konstante.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Di 06.07.2010 | | Autor: | safsaf |
mit C=c1+c2
aber wie kann ich mein y(0)=2 einsetzen? ich kann doch nicht x=0 einsetzen? ln(0) -E-
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Hallo safsaf,
> y(x)=e^ln(x) + C
Das muss hier so lauten:
[mm]y(x)=e^{ln(x) + C}[/mm]
> mit C=c1+c2
>
> aber wie kann ich mein y(0)=2 einsetzen? ich kann doch
> nicht x=0 einsetzen? ln(0) -E-
Erinnere Dich, daß der natürliche Logarithmus "ln"
die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion "e" ist.
Was ergibt sich dann?
Gruss
MathePower
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