trigonometr. Gleichung lösen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Fr 12.03.2010 | | Autor: | phily |
| Aufgabe | sin(2x) = cot(x)
mit [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le 2\pi [/mm] |
Hallo!!
Also bei der Aufgabe oben bin ich soweit:
sin (x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Als Ergebnis wäre das für mich [mm] \bruch{\pi}{4}....
[/mm]
Nun habe ich allerdings die Lösungen mit angegeben und da soll noch
[mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ; [mm] \bruch{3\pi}{4} [/mm] ; [mm] \bruch{5\pi}{4} [/mm] ; [mm] \bruch{7\pi}{4} [/mm] rauskommen.
Wo liegt denn hier mein Denkfehler? Wie komme ich auf die restlichen Ergebnisse??
Danke schon mal für eure Hilfe!
Gruß phily
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> sin(2x) = cot(x)
> mit [mm]0\le[/mm] x [mm]\le 2\pi[/mm]
> Hallo!!
>
> Also bei der Aufgabe oben bin ich soweit:
> sin (x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Als Ergebnis wäre das für mich [mm]\bruch{\pi}{4}....[/mm]
>
> Nun habe ich allerdings die Lösungen mit angegeben und da
> soll noch
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ; [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] ; [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] ;
> [mm]\bruch{3\pi}{4}[/mm] ; [mm]\bruch{5\pi}{4}[/mm] ; [mm]\bruch{7\pi}{4}[/mm]
> rauskommen.
>
> Wo liegt denn hier mein Denkfehler? Wie komme ich auf die
> restlichen Ergebnisse??
Hallo,
diese Frage können wir Dir natürlich nur beantworten, wenn Du uns an Deinem Denkprozeß teilnehmen läßt.
Poste doch mal, was Du getan und gerechnet hast, um auf Dein Ergebnis zu kommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Fr 12.03.2010 | | Autor: | phily |
Ok sorry, hätt ich auch gleich mit dazu schreiben können!!
Also mein Rechenweg war folgender:
sin(2x) = cot(x)
Ich bin davon ausgegangen,dass sin(2x)= 2*sin(x)*cos(x)
und cot(x)= [mm] \bruch{cos(x)}{sin(x)} [/mm] ist...
Also ergibt sich daraus folgende Gleichung:
2*sin(x)*cos(x) = [mm] \bruch{cos(x)}{sin(x)}
[/mm]
--> 2*sin²(x) =1
--> sin(x) = [mm] 1/\wurzel{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Fr 12.03.2010 | | Autor: | gfm |
Das Lösen einer Gleichung bedeutet die Menge
[mm] L_F=\{x\inD_F:F(x)=0\}
[/mm]
konkret zu bestimmen. Das ist die Lösungsmenge der Gleichung F(x)=0. Dass dort eine Null auf der rechten Seite steht, macht nichts, denn die Lösungsmenge von g(x)=f(x) ist dieselbe, wie die von g(x)-f(x)=0. [mm] D_F [/mm] ist die Menge der x auf der [mm] D_F [/mm] definiert ist, also für die der Ausdruck F(x) definiert ist, berechenbar ist, Sinn macht, usw.
Praktisch geht man dabei so vor, dass man ausgehend von
F(x)=0
eine Umformung macht und zu einer anderen Gleichung gelangt
[mm] F_1(x)=0
[/mm]
die dieselbe Lösungmenge wie die von F(x) haben sollte, und in einem gewissen Sinne "einfacher" ist als die obige [mm] (L_F=L_{F_1}).
[/mm]
Das macht man so oft, bis man am Ende im Idealfall
[mm] x=F^{-1}(0)
[/mm]
stehen hat. Wobei [mm] F^{-1} [/mm] die Umkehrfunktion zu F ist (dann darf man ein [mm] "\gdw" [/mm] schreiben). Wenn das so möglich ist gibt es auch nur die eine Lösung [mm] x=F^{-1}(0):
[/mm]
[mm] L_F={F^{-1}(0)}
[/mm]
Beispiel F(x)=2x+3=0
F ist also das Multiplizieren mit 2 und anschließendem Addieren von 3. Beide Schritte für sich allein genommen sind eindeutig umkehrbar und führen zum Subtrahieren von 3 und anschließendem Dividieren durch zwei:
[mm] x=F^{-1}(0)= [/mm] (0-3)/2=-1,5
In vielen Fällen hat aber F keine Umkehrfunktion, sondern es exisitert nur eine Umkehrrelation, was sich oft daran ausdrückt, dass man i.A. mehrere Gleichung bei einer Vereinfachung erhält. Beispiel:
[mm] F(x)=x^2-4=0
[/mm]
F ist nicht umkehrbar, da F(x)=F(-x), d.h. F(x)=p kann nicht nur durch ein x erfüllt werden.
Wenn man also bei einer Umformung von
F(x)=0
zu einer faktorisierten Form
f(x)g(x)=0 gelangt
zerfällt die weitere Rechnung in zwei Stränge
f(x)=0 oder g(x)=0, die man getrennt zu lösen hat, wie man im obigen Beispiel sieht:
[mm] x^2-4=(x-2)(x+2)=0
[/mm]
x-2=0 oder x+2=0
L={2,-2}
Und das ist u.a. bei Dir der Fall.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Fr 12.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> 2*sin(x)*cos(x) = [mm]\bruch{cos(x)}{sin(x)}[/mm]
> --> 2*sin²(x) =1
Wie Steffi schon geschrieben hat: Auch für [mm] $\cos(x)=0$ [/mm] ist die obere Gleichung erfüllt. (Durch Terme darf man immer nur dann teilen, wenn sie ungleich 0 sind.)
> --> sin(x) = [mm]1/\wurzel{2}[/mm]
Aus [mm] $\sin^2(x)=\bruch12$ [/mm] kannst du nur auf [mm] $\sin(x)=\pm\bruch{1}{\wurzel2}$ [/mm] schließen.
Selbst [mm] $\sin(x)=+\bruch{1}{\wurzel2}$ [/mm] hat noch zwei Lösungen für [mm] $0\le x\le2\pi$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hallo, [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ist korrekt, du hast bestimmt
[mm] sin(x)*cos(x)+sin(x)*cos(x)=\bruch{cos(x)}{sin(x)}
[/mm]
benutzt und durch cos(x) geteilt, untersuche also den Fall cos(x)=0 gesondert, du bekommst zwei weitere Lösungen, als weiteres Stichwort "Periode"
Steffi
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