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Forum "VK 60: Analysis" - Übungsserie 2, Aufgabe 3
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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Aufgabe 3
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:12 So 05.02.2012
Autor: Blackwolf1990

Aufgabe
II-3: Seien x,y reelle Zahlen mit:

                                      [mm] (x-5)^{2} [/mm] + [mm] (y-7)^{2} [/mm] = 4

Zeigen Sie:                           [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] > 36

Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, welches geometrische Objekt damit auch beschrieben wird! (Skizze!)

Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Analysis" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)



        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 3: (Entwurf)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:52 Di 21.08.2018
Autor: donp

Aufgabe
Seien x,y reelle Zahlen mit: [mm] $$(x-5)^{2} [/mm] + [mm] (y-7)^{2} [/mm] = 4$$ Zeigen Sie: [mm] $$x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] > 36$$ Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, welches geometrische Objekt damit auch beschrieben wird!


Zum geometrischen Objekt habe ich erst mal die Alten befragt:

[]Pythagoras sagt: Die Bedingung entspricht einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten der Länge [mm]a = x-5[/mm], [mm]b = y-7[/mm] und einer Hypotenuse der Länge [mm]c=\wurzel{4} = 2[/mm].

[]Thales sagt: Die Ecken der Dreiecke mit [mm]a, b \,|\, a^2 +b^2=4[/mm] und [mm]a, b \ge 0[/mm] beschreiben einen Halbkreis mit dem Durchmesser 2 (Hypotenuse).

Da die Hypotenuse die kürzeste Verbindung zwischen ihren Endpunkten ist, nimmt die Summe der Kathetenlängen [mm]a+b[/mm] einen kleinsten Grenzwert [mm]g \in \{-2,2\}[/mm] an für $a,b [mm] \to [/mm] 0, [mm] a\not=b$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Di 21.08.2018
Autor: donp

Aufgabe
> Seien x,y reelle Zahlen mit: [mm](x-5)^{2} + (y-7)^{2} = 4[/mm]
> Zeigen Sie: [mm]x^{2} + y^{2} > 36[/mm]
> Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, welches
> geometrische Objekt damit auch beschrieben wird!

Zum geometrischen Objekt habe ich erst mal die Alten befragt:
  
[]Pythagoras sagt, dass die Gleichung rechtwinklige
Dreiecke mit Katheten der Länge [mm]a = x-5[/mm], [mm]b = y-7[/mm]
und Hypotenusen gleicher Länge [mm]c=\wurzel{4} = 2[/mm] beschreibt.

[]Thales sagt, dass die Ecken der Dreiecke mit den
Katheten [mm]a, b \,|\, a^2 +b^2=4[/mm] und [mm]a, b \ge 0[/mm] einen Halbkreis
mit dem Durchmesser 2 (Hypotenuse) beschreiben.

Die []Pythia prophezeit einen Kreis.

[]Euklid meint, die Hypotenuse sei die kürzeste Verbindung
ihrer Endpunkte, womit die Summe der Kathetenlängen [mm]a+b[/mm]
einen kleinsten Grenzwert [mm]g \in \{-2,2\}[/mm] annimmt für [mm]a,b \to 0, a\not=b[/mm].
Pythagoras und Thales stimmen ihm zu.


Ich bedanke mich bei den Alten, will jetzt auch mal selber denken und scheitere schon bei der ersten Idee: Zunächst wollte ich nämlich behaupten, dass für $ a+b=g $ auch $ x+y $ und damit $ [mm] x^2 +y^2 [/mm] $ grenzwertig klein wird, aber – halt – darf man wirklich so schließen?

Danke für jede Hilfe,
Don P

Bezug
                        
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Di 21.08.2018
Autor: leduart

Hallo
warum willst du einen GW a,b->0 du weisst doch dass a+b>=C ist der kleinste Wert von a+b ist c in deinem Thaleskreis.
warum willst du das mit dem Durchmesser des Kreises =2r=Hypothenuse  machen. ich denke du kommst da auf falsche Ideen. x.y liegen in [mm] RR^2 x^2+y^2=6^2 [/mm] ist ein Kreis um 0.  das andere ein Kreis um (5,7) mit Radius 2.
den Thaleskreis zu verwenden, statt das rechtwinklige Dreieck mit Hyp r und den x und y Koordinaten relativ zum Mittelpunkt ist wahrscheinlich ein Fehlversuch.
Gruß leduart

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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Di 21.08.2018
Autor: donp

Hallo

> warum willst du einen GW a,b->0 du weisst doch dass a+b=c
> ist der kleinste Wert von a+b ist in deinem Thaleskreis.

Man sieht's schon an der Gleichung, wollte es nur noch mit dem GW [mm] a,b\to0 [/mm] geometrisch zeigen.

>  warum willst du das mit dem Durchmesser des Kreises =2r=Hypothenuse  machen.

Ich will es mit den Katheten a,b machen, weil dort die x,y drinstecken. Hoffte über den kleinsten Wert a+b leicht auf den kleinsten Wert von [mm] x^2+y^2 [/mm] zu kommen, der >36 (als GW) sein soll.

> den Thaleskreis zu verwenden, statt das rechtwinklige
> Dreieck mit Hyp r und den x und y Koordinaten relativ zum
> Mittelpunkt ist wahrscheinlich ein Fehlversuch.

Hmm... im Thaleskreis bewegt sich praktisch der Ursprung auf dem Kreis, wenn er am rechten Winkel sitzt und die Hypotenuse als Durchmesser liegen bleibt... sieht wild aus :)



Also schaumermal...

> (x,y) liegen in [mm]\IR^2[/mm].
> [mm] x^2+y^2=6^2 [/mm] ist ein Kreis um 0

[mm] \Rightarrow [/mm] Der Radius als Abstand der Kreispunkte vom Ursprung ist 6.
Zu beweisen ist [mm] $x^2+y^2>6^2$ \gdw [/mm] dass der gegebene Kreis ausserhalb liegt.

> das andere ein Kreis um (5,7) mit Radius 2.

[mm] \Rightarrow [/mm] Der Mittelpunkt hat den Abstand [mm] $\wurzel{5^2 +7^2}$ [/mm] vom Ursprung.
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Kreispunkte haben mindestens den Abstand [mm] $\wurzel{5^2 +7^2}-2\approx [/mm] 6,6$ vom Ursprung.

[mm] \Rightarrow [/mm] Mit $6 > [mm] \;\approx [/mm] 6,6$ liegt der gegebene Kreis ausserhalb, w.z.b.w.



Vielen Dank,
Don P

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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Fr 24.02.2012
Autor: Kimmel

Ich bräuchte zu dieser Aufgabe einen kleinen Tipp...

(Ist das Objekt eine Kugel?)

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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Fr 24.02.2012
Autor: TanjaH

Hallo Kimmel,

> Ich bräuchte zu dieser Aufgabe einen kleinen Tipp...
>  
> (Ist das Objekt eine Kugel?)

ich würde hier eher auf einen Kreis tippen :-)

Viele Grüße
Tanja

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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Fr 24.02.2012
Autor: leduart

Hallo
Nein, mit dem = Zeichen sind die beiden Gl. Kreislinien.
für ne Kugel brauchst du ja noch ne z-Koordinate.
gruss leduart

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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Fr 24.02.2012
Autor: Kimmel

Hallo leduart und Tanja,

ein Kreis also.
Nur, was fange ich jetzt damit an?

Ich meine mich nicht erinnern zu können, dass wir das in Analysis 1 behandelt haben.

Unter welchem Stichwort fällt diese Aufgabe?

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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Fr 24.02.2012
Autor: leduart

Hallo
Stichwort: Mengen im [mm] \IR^2 [/mm]
anfangen damit: sie erst mal aufzeichnen, und sehen, was damit gemeint ist.
sinn:
a) umgang mit mengen, die durch eine math. Beschreibung  gegeben sind.
b) später braucht man das um funktionen, über bestimmten mengen zu integrieren.
Wiederholung: Abstand a  von 2 Punkten (x,y) und [mm] (x_m,y_m) [/mm]
nach pythagoras
[mm] a^2=(x-x_m)^2+(y-y_m)^2 [/mm]
Def. kreis. menge aller punkte die von einem festen punkt konstanten Abstand haben.
deshalb menge aller punkte (x,y) die von [mm] (x_m,y_m) [/mm] den Abstand a haben ist die menge aller 8x,y) für die gilt
[mm] (x-x_m)^2+(y-y_m)^2= a^2 [/mm]
Kannst du jetzt die Menge zeichnen?
Gruss leduart


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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 Sa 25.02.2012
Autor: Kimmel

Ist die Menge sozusagen der Rand vom Kreis?

Wenn ja, dann würde ich wie folgt gehen, um die Aufgabe zu lösen:

Ich weiß, dass folgendes gilt:

$3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 7$ und $5 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 9$

Ich drücke dann x in Abhängigkeit von y aus, quadriere es und addiere das mit [mm] y^2. [/mm]
Dann ist das doch nur noch ein Extremwertproblem im Intervall [5,9], sprich ich finde das Minimum heraus und die Aufgabe ist dann gelöst?



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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:07 Sa 25.02.2012
Autor: leduart

Hallo
Wenn du ne zeichnung machst, fällt dir dann nicht ein einfacherer Weg ein=
vielleich zeichnest du noch die grenze des Gbietes [mm] x^2+y^2>36 [/mm]
ob dein Weg zum Ziel führt ist möglich aber eigentlich ist das ne 2 bis 2 zZeilen Rechnung.
Mathe ist auch das vermeiden von unnötigen rechnereien durch denken.
Gruss leduart

Bezug
                                                        
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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Mi 29.02.2012
Autor: Kimmel

Ich versuch's mal:

Der Abstand des Mittelpunktes vom Kreis bis zum Ursprung (0|0) beträgt [mm] \wurzel{5^2 + 7^2} [/mm]

Der kürzeste Abstand vom Ursprung zum einen Punkt (x,y), der die Gleichung erfüllt, beträgt [mm] \wurzel{5^2 + 7^2} [/mm] - 2 > 6

Somit gilt [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] > 36
(Das ist ja ein Kreis um den Ursprung mit dem Radius 6)



Bezug
                                                                
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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Mi 29.02.2012
Autor: leduart

Hallo
ob du es jetz gesehen hast wiess ich aus deinem Text nicht.
aber was du mit deiner rechnung raus hast ist, dass die menge genau die punkte der kreislinie sind, weil sie alle die bed, [mm] x^2+y^2>36 [/mm] erfüllen.
gruss leduart

Bezug
                                                                        
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Übungsserie 2, Aufgabe 3: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:43 Mi 29.02.2012
Autor: Kimmel

Was ich gemacht habe, ist, dass ich die beiden Kreise gezeichnet habe.
Alles, was außerhalb von dem Ursprungskreis mit dem Radius 6 ,ist erfüllt diese Bedingung und das tut offenbar die andere Kreisgleichung für alle Punkte (x,y)
Das habe ich versucht mit den Abständen zu zeigen...

War das der Weg?


Bezug
                                                                                
Bezug
Übungsserie 2, Aufgabe 3: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 08.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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