ungleichung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 16.11.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Definitionsbereich folgender Ungleichung für reelle Zahlen x und beschreiben Sie ihre Lösungsmenge in Intervallschreibweise.
[mm] \bruch{x}{|x+3|}<\bruch{1}{|x-1|} [/mm] |
Hallo,
ichweiß nicht genau wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Mein Ansatz sieht so aus:
Erstmal die Fälle aufgeschrieben,
1. Fall: x<-3 [mm] \Rightarrow [/mm] |x+3|=-(x+3) und |x-1|=-(x-1)
2. Fall: -3<x<1 [mm] \Rightarrow [/mm] |x+3|=x+3 und |x-1|=-(x-1)
3. Fall: x>1 [mm] \Rightarrow [/mm] |x+3|=x+3 und |x-1|=x-1
Sind die schonmal richtig?
Wenn ja, muss ich jetzt für jeden Fall einzeln die aufgelösten Beträge einsetzen und nach x auflösen?
Ich habe das für den 1. Fall versucht:
[mm] \bruch{x}{-(x+3)}<\bruch{1}{-(x-1)} \gdw \bruch{x(-x+1)}{-x-3}<1 \gdw -x^2+x<-x-3 \gdw -x^2+2x<-3
[/mm]
Jetzt habe ich ein [mm] x^2 [/mm] dadrin und weiß nicht wie es weiter gehen soll. Da ist doch bestimmt ein Fehler drin.
Danke für den Tip, schöne grüße stffn.
|
|
| |
|
Hallo, deine Fälle sind so ok, der Vollständigkeit halber solltest du den 4. Fall erwähnen: x+3<0 und x-1>0
zum 1. Fall hast du korrekt berechnet
[mm] -x^{2}+2x<-3
[/mm]
[mm] -x^{2}+2x+3<0
[/mm]
betrachte jetzt die Funktion [mm] f(x)=-x^{2}+2x+3, [/mm] eine nach unten geöffnete Parabel, bestimme von dieser Funktion die Nullstellen
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Di 16.11.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, das habe ich gemacht und als Ergebnis [mm] x_{1}=-1 [/mm] und [mm] x_{2}=3.
[/mm]
Aber was heißt das jetzt für mein erstes Lösungsintervall? das ist ja kein Intervall.
Würde daraus, dass nach dem ersten Fall x<-3 ist, meine erste Lösungsmenge leer ist?
|
|
|
| |
|
Hallo, du betrachtest ja den 1. Fall:
aus x+3<0 folgt x<-3
aus x-1<0 folgt x<1
deine Funktion hat die Nullstellen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=3, [/mm] was bedeutet, deine Funktion ist für x<-1 und x>3 kleiner als Null, bedenke, deine Parabel ist nach UNTEN geöffnet,
damit du eine Vorstellung für die Lösungsmenge aus dem Fall 1 bekommst, skizziere dir einen Zahlenstrahl von -6 bis 6
mit der 1. Farbe zeichnest du dir alle Zahlen x<-3 ein
mit der 2. Farbe zeichnest du dir alle Zahlen x<1 ein
mit der 3. Farbe zeichnest du dir alle Zahlen x<-1 und x>3 ein
jetzt erkennst du die Lösungsmenge x<-3
jetzt untersuche die anderen Fälle
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 16.11.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, ich glaube dann stimmt es jetzt. Ich hoffe es:
1.Fall: [mm] \IL_{1}=]-\infty,-3[ [/mm]
2. Fall: Da komme ich auf die nach unten geöffnete Parabel [mm] -x^2-3, [/mm] also ist
[mm] \IL_{2}=]-3,-\wurzel{3}[
[/mm]
3. Fall: Hier komme ich auf die nach OBEN geöffnete Parabel [mm] x^2-2x-3, [/mm] von der die Nullstellen auch -1 und 3 sind, nur dass diesmal alles, was dazwischen liegt kleiner als Null ist:
[mm] \IL_{3}=]1,3[
[/mm]
[mm] \IL_{ges} [/mm] ist ja dann die Vereinigungsmenge davon.
|
|
|
| |
|
Hallo,
1. und 3. Fall sind ok,
2. Fall:
aus x+3>0 folgt x>-3
aus x-1<0 folgt x<1
somit -3<x<1
deine Parabel [mm] f(x)=-x^{2} [/mm] -3 ist für alle x kleiner als Null
[mm] \IL_{2}=]-3;1[ [/mm]
[mm] \IL_{ges}=\{x; x<3; x\not=-3; x\not=1; x\in \IR\}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Di 16.11.2010 | | Autor: | stffn |
Klar! danke für die Hilfe, habs jetzt kapiert.
|
|
|
|
