zur Matrix alle Matrizen X.. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Di 08.01.2008 | | Autor: | Saschman |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zur Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 1 } alle [/mm] Matrizen X, die die Matrixgleichung [mm] A*X+X*A^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] erfüllen.
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So ich bin jetzt wie folgt herangegangen.
Matrix A mit Matrix X [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] multipliziert. Da erhalte ich [mm] \pmat{ a & b \\ -a+c & -b+d }
[/mm]
Aus X* [mm] A^{T} [/mm] ergibt sich [mm] \pmat{ -a & a+b \\ -c & c+d }
[/mm]
addiere ich jetzt diese Matritzen erhalte ich [mm] \pmat{ 0 & a+2b \\ -a & -b+c+2d }
[/mm]
aber was muss ich jetzt noch tun...ich weiss hier nicht weiter..
Hoffe auf eine Antwort..
LG
Sascha
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Der Ansatz ist richtig,
AX hast du auch richtig berechnet, nur bei [mm] XA^{T} [/mm] ist es falsch:
[mm] A^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] XA^{T} [/mm] = [mm] \pmat{ a - b & b \\ c - d & d }
[/mm]
Der Gedankengang ist auch weiter richtig, die Matrizen zu addieren:
AX + [mm] XA^{T}
[/mm]
= [mm] \pmat{a & b \\ -a+c & -b+d} [/mm] + [mm] \pmat{ a - b & b \\ c - d & d }
[/mm]
= [mm] \pmat{2a - b & 2b \\ -a - d + 2c & -b+2d}
[/mm]
Naja, und diese linke Seite soll nun [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] sein, das heißt du musst die Felder der Matrizen links und rechts der gegebenen Gleichung komponentenweise vergleichen und es ergibt sich ein Gleichungssystem, das du lösen musst:
2a - b = 1
2b = 0
-a -d + 2c = 0
-b + 2d = 1
Die Lösungen sind:
a = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
b = 0
c = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
d = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Also muss die Matrix X folgermaßen aussehen:
X = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} }
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Saschman |
Super danke..jetzt verstehe ich das....
Aber in der Aufgaben Stellung steht ermittle ALLE Matritzen X...ist es in diesem Fall nur die Eine..da es ja quasi eine Eindeutige Lösung gibt?
DANKE
LG
Sascha
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Eindeutige Herleitung --> Eindeutige Lösung
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Saschman |
Hy,
nochmal danke für die schnelle Antwort..ich habe es nochmal nachgerechnet...aber komme bei [mm] X*A^{T} [/mm] nicht auf [mm] \pmat{ a - b & b \\ c - d & d } [/mm] ...sondern immer auf [mm] \pmat{ a & -a+b \\ c & -c+d }
[/mm]
das Ergebnis der ganzen Aufgabe sähe dann so aus:
[mm] \pmat{ 0,5 & 0,25 \\ 0,25 & 0,5 }
[/mm]
Bin ich auf dem Holzweg?
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Hallo,
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 1 }
[/mm]
[mm] A^{T}=\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] X=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
somit:
[mm] X*A^{T}=\pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a & -a+b \\ c & -c+d }
[/mm]
Deine Überlegung ist also korrekt,
Überprüfe bitte noch einmal d= ...
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Saschman |
oha...d müsste 0,75 sein..
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Hallo, und d=0,75 ist korrekt, Steffi
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Hallo,
was Du tust, ist richtig.
> AX hast du auch richtig berechnet, nur bei [mm]XA^{T}[/mm] ist es
> falsch:
Leider hast Du auch [mm] XA^{T} [/mm] falsch berechnet,
Gruß v. Angela
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