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Algebra 1
Aufgabenblatt 2
Abgabe: So 18.03.2012 19:00		11.03.2012
Die Aufgabenstellungen erfolgen im Bezug auf das Buch "Algebra" von Karpfinger; gestellt werden Sie von Blackwolf1990 und bis sich ein hilfsbereiter Kursleiter findet wird die Korrektur von Interessenten erbeten.
Aufgabe 1
II-1: Sei $ G $ eine Gruppe. Zeigen Sie:
(i) $ \operatorname{Aut} G = \{\operatorname{id}\} \to G $ ist abelsch.
(ii) Ist $ a \mapsto a^{2} $ ein Homomorphismus, so ist $ G $ abelsch.
(iii) Ist $ a \mapsto a^{-1} $ ein Automorphismus, so ist $ G $ abelsch.
Aufgabe 2
II-2: a) Beweisen Sie: ein Gruppenhomomorphismus $ \phi $ ist genau dann injektiv, wenn Kern $ \phi $ = $ {e_{G}}. $
b) Begründen Sie, dass $ (\IZ $ , +) isomorph ist zu $ (n\IZ $ , +) für alle natürlichen Zahlen n.
Aufgabe 3
II-3: Sei $ G $ eine endliche Gruppe und $ \phi \in \operatorname{Aut} G $ fixpunktfrei, d.h. aus $ \phi(a) = a $ für ein $ a \in G $ folgt $ a = e $. Zeigen Sie: zu jedem $ a \in G $ ex. genau ein $ b\in G $ mit $ a = b^{-1} \phi(b) $.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst $ \psi : b\mapsto b^{-1} \phi(b) $ ist injektiv.
Aufgabe 4
II-4: Zeigen Sie: Besitzt eine endliche Gruppe $ G $ einen fixpunktfreien Automorphismus $ \phi $ mit $ \phi^{2} = Id $ , so ist $ G $ abelsch.
Hinweis: Benutzen Sie Übungsaufgabe II-3 !
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