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Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung_Beispiel-Mengengleichheit

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Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Beispiel-Mengengleichheit

Wie führe ich einen Beweis?

$\leftarrow$ b) Teilmengenbeziehung 2 $\uparrow$ 5. Beispiele $\rightarrow$ d) Gruppe

5. Beispiele

c) Gleichheit von Mengen

Aufgabe:

Seien , und Mengen. Zeigen Sie, dass $X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ gilt.

Vorbereitung des Beweises:

Voraussetzungen:

Keine speziellen.

Behauptung:

$X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$

Dabei ist

$X\setminus (Y\cup Z)=\{a\;|\;a\in X\text{ und }a\not\in (Y\cup Z)\}$ ,

wobei

$Y\cup Z=\{a\;|\;a\in Y\text{ oder }a\in Z\}$ ,

sowie

$(X\setminus Y)\cap(X\setminus Z)=\{a\;|\;a\in X\setminus Y\text{ und }a\in X\setminus Z\}$ ,

wobei

$X\setminus Y=\{a\;|\;a\in X\text{ und }a\not\in Y\}$

und

$X\setminus Y=\{a\;|\;a\in X\text{ und }a\not\in Y\}$ .

Rahmen des Beweises:

Zu zeigen ist also eine Gleichheit von Mengen. Punkt h) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir haben nacheinander $X\setminus(Y\cup Z)\subseteq(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ und $(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)\subseteq X\setminus(Y\cup Z)$ zu zeigen.

Fangen wir mit $X\setminus(Y\cup Z)\subseteq(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ an. Punkt i) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was dazu zu tun ist: Wir betrachten ein beliebig vorgegebenes Element $a\in X\setminus(Y\cup Z)$ und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung $a\in X\setminus(Y\cup Z)$ , dass auch $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ gilt.

$a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ bedeutet $a\in X\setminus Y$ und $a\in X\setminus Z$ . Punkt a) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, dass wir für diese "und"-Aussage nacheinander die beiden Aussagen zeigen müssen. $a\in X\setminus Y$ bedeutet $a\in X$ und $a\not\in Y$ . Nacheinander sind also diese beiden Aussagen zu zeigen. $a\in X\setminus Z$ bedeutet $a\in X$ und $a\not\in Z$ . Auch diese Aussagen sind nacheinander zu zeígen.

Kommen wir nun zum Beweisrahmen für $(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)\subseteq X\setminus(Y\cup Z)$ . Wir betrachten wieder wie in Punkt i) unter 3. Wie zeige ich...? beschrieben ein beliebig vorgegebenes Elemente $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ , dass auch $a\in X\setminus (Y\cup Z)$ gilt.

$a\in X\setminus (Y\cup Z)$ bedeutet $a\in X$ und $a\not\in Y\cup Z$ . Letzteres bedeutet "nicht $a\in Y\cup Z$ ". Punkt e) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was dazu zu tun ist: Wir nehmen $a\in Y\cup Z$ an und führen diese Annahme zu einem Widerspruch.

Somit ergibt sich folgender Beweisrahmen:

Zu zeigen ist, dass $X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ gilt.

" $\subseteq$ ":
Sei $a\in X\setminus(Y\cup Z)$ .
Zu zeigen ist $a\in (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z)$ , d.h. $a\in X\setminus Y$ und $a\in X\setminus Z$ .
...
Hauptteil für " $\subseteq$ "
( $a\in X\setminus Y$ , d.h. $a\in X$ und $a\not\in Y$ , zeigen.)
( $a\in X\setminus Z$ , d.h. $a\in X$ und $a\not\in Z$ , zeigen.)
...
Somit gilt $a\in (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z)$ .
Da $a\in X\setminus(Y\cap Z)$ beliebig war, folgt $X\setminus(Y\cup Z)\subseteq (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ .

" $\supseteq$ ":
Sei $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ .
Zu zeigen ist $a\in X\setminus (Y\cup Z)$ , d.h. $a\in X$ und $a\not\in Y\cup Z$ .
...
Hauptteil für " $\supseteq$ "
( $a\in X$ zeigen.)
( $a\not\in Y\cup Z$ zeigen. Dazu:)
Angenommen $a\in Y\cup Z$ .
(Widerspruch folgern)
...
Somit gilt $a\in X\setminus (Y\cup Z)$ .
Da $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ beliebig war, folgt $(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)\subseteq X\setminus(Y\cup Z)$ .

Damit ist $X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ gezeigt.

Hauptteil des Beweises:

Fangen wir mit dem Hauptteil des Nachweises von $X\setminus(Y\cup Z)\subseteq(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ an. Wir haben als zusätzliche Voraussetzung $a\in X\setminus(X\cup Z)$ . Das bedeutet: $a\in X$ und $a\not\in Y\cup Z$ . Letzteres bedeutet (nicht $a\in Y\cup Z$ ), d.h. (nicht ( $a\in Y$ oder $a\in Z$ )). Punkt e) unter 4. Wie benutze ich...? verrät uns, wie wir eine solche "nicht"-Aussage verwenden können: Wir über überlegen uns, was sie in unserem Fall bedeutet, nämlich (nicht $a\in Y$ ) und (nicht $a\in Z$ ). Punkt a) unter 4. Wie benutze ich...? verrät uns, wie wir eine solche "und"-Aussage verwenden können: Wir betrachten sowohl (nicht $a\in Y$ ) als auch (nicht $a\in Z$ ) als zusätzliche Voraussetzungen, unter denen wir weiterargumentieren. Damit haben wir schon alle Aussagen, die wir für unsere gerade betrachtete Teilmengenbeziehung benötigen.

Kommen wir nun zum Hauptteil des Nachweises von $(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)=X\setminus (Y\cup Z)$ . Wir haben hier als zusätzliche Voraussetzung $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ . Das bedeutet: $a\in X\setminus Y$ und $a\in X\setminus Z$ . Punkt a) unter 4. Wie benutze ich...? verrät uns wieder, wie wir eine solche "und"-Aussage verwenden können: Wir betrachten sowohl $a\in X\setminus Y$ als auch $a\in X\setminus Z$ als zusätzliche Voraussetzungen, unter denen wir weiterargumentieren. $a\in X\setminus Y$ bedeutet $a\in X$ und $a\not\in Y$ , $a\in X\setminus Z$ bedeutet $a\in X$ und $a\not\in Z$ . Wir haben also als zusätzliche Voraussetzungen, unter denen wir weiterargumentieren können: $a\in X$ , $a\not\in Y$ und $a\not\in Z$ .

$a\in X$ war auch zu zeigen. Außerdem ist die Annahme $a\in Y\cup Z$ zum Widerspruch zu führen. $a\in Y\cup Z$ bedeutet $a\in Y$ oder $a\in Z$ . Punkt b) unter 4. Wie benutze ich...? legt uns für diese "oder"-Aussage eine Fallunterscheidung nach $a\in Y$ bzw. $a\in Z$ nahe. Falls $a\in Y$ haben wir einen Widerspruch zu $a\not\in Y$ . Falls $a\in Z$ haben wir einen Widerspruch zu $a\not\in Z$ . Also haben wir in allen Fällen einen Widerspruch hergeleitet und damit $a\not\in Y\cup Z$ gezeigt.

Fertiger Beweis:

Zu zeigen ist, dass $X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ gilt.

" $\subseteq$ ":
Sei $a\in X\setminus(Y\cup Z)$ .
Zu zeigen ist $a\in (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z)$ , d.h. $a\in X\setminus Y$ und $a\in X\setminus Z$ .

Wegen $a\in X\setminus(Y\cup Z)$ gilt $a\in X$ und $a\not\in Y\cup Z$ .
Letzteres bedeutet (nicht $a\in Y\cup Z$ ), also (nicht ( $a\in Y$ oder $a\in Z$ )), was (nicht $a\in Y$ ) und (nicht $a\in Z$ ) bedeutet, was sich wiederum als $a\not\in Y$ und $a\not\in Z$ schreiben lässt.

Wegen $a\in X$ und $a\not\in Y$ gilt $a\in X\setminus Y$ .
Wegen $a\in X$ und $a\not\in Z$ gilt $a\in X\setminus Z$ .

Somit gilt $a\in (X\setminus Y)\cap(X\setminus Z)$ .
Da $a\in X\setminus(Y\cap Z)$ beliebig war, folgt $X\setminus(Y\cup Z)\subseteq (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ .

" $\supseteq$ ":
Sei $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ .
Zu zeigen ist $a\in X\setminus (Y\cup Z)$ , d.h. $a\in X$ und $a\not\in Y\cup Z$ .

Wegen $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ gilt $a\in X\setminus Y$ und $a\in X\setminus Z$ .
$a\in X\setminus Y$ bedeutet $a\in X$ und $a\not\in Y$ .
$a\in X\setminus Z$ bedeutet $a\in X$ und $a\not\in Z$ .

Da $a\in X$ somit gezeigt ist, bleibt nur noch $a\not\in Y\cup Z$ zu zeigen.
Angenommen $a\in Y\cup Z$ .
Dann gilt $a\in Y$ oder $a\in Z$ .
Falls $a\in Y$ , haben wir einen Widerspruch zu $a\not\in Y$ .
Falls $a\in Z$ , haben wir einen Widerspruch zu $a\not\in Z$ .
Also haben wir in jedem Fall einen Widerspruch.
Also war unsere Annahme $a\in Y\cup Z$ falsch und somit gilt $a\not\in Y\cup Z$ .

Somit gilt $a\in X\setminus (Y\cup Z)$ .
Da $a\in (X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ beliebig war, folgt $(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)\subseteq X\setminus(Y\cup Z)$ .

Damit ist $X\setminus(Y\cup Z)=(X\setminus Y)\cap (X\setminus Z)$ gezeigt.

Letzte Änderung: Sa 10.11.2012 um 21:32 von tobit09

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