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Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung_Beispiel-Teilmenge1
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Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Beispiel-Teilmenge1

Wie führe ich einen Beweis?

$ \uparrow $ 5. Beispiele $ \rightarrow $ b) Teilmengenbeziehung 2

5. Beispiele


a) Teilmengenbeziehung 1


Aufgabe:

Seien $ X $,$ Y $,$ X' $ und $ Y' $ Mengen. Es gelte $ X\subseteq X' $ und $ Y\subseteq Y' $. Zeigen Sie, dass dann auch $ X\cup Y\subseteq X'\cup Y' $ gilt.


Vorbereitung des Beweises:

Voraussetzungen:

$ X\subseteq X' $ bedeutet:

    $ \forall x\in X\colon x\in X' $.

$ Y\subseteq Y' $ bedeutet:

    $ \forall y\in Y\colon y\in Y' $.

Behauptung:

$ X\cup Y\subseteq X'\cup Y' $.

Dabei ist

    $ X\cup Y=\{z\;|\;z\in X\text{ oder }z\in Y\} $

und

    $ X'\cup Y'=\{z\;|\;z\in X'\text{ oder }z\in Y'\} $.


Rahmen des Beweises:

Zu zeigen ist also eine Teilmengenbeziehung. Punkt i) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir betrachten ein beliebig vorgegebenes Element $ z\in X\cup Y $ und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung $ z\in X\cup Y $ die Aussage $ z\in X'\cup Y' $.

$ z\in X'\cup Y' $ bedeutet, dass $ z\in X' $ oder $ z\in Y' $. Zu zeigen ist also diese "oder"-Aussage. Punkt b) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir müssen eine Fallunterscheidung nach gewissen Fällen $ C $ und $ D $ durchführen, für die $ C\vee D $ als wahr bekannt ist. Dann zeigen wir, dass aus $ C $ die Aussage $ z\in X' $ und aus $ D $ die Aussage $ z\in Y' $ folgt.

Somit ergibt sich folgender Beweisrahmen:

Zu zeigen ist, dass $ X\cup Y\subseteq X'\cup Y' $ gilt.
Sei also $ z\in X\cup Y $.
Zu zeigen ist, dass $ z\in X'\cup Y' $ gilt, d.h. dass $ z\in X' $ oder $ z\in Y' $ gilt.
...
Hauptteil
(1. Fall: $ C $. Zeigen, dass in diesem Fall $ z\in X' $.)
(2. Fall: $ D $. Zeigen, dass in diesem Fall $ z\in Y' $.)
...
Somit gilt in jedem Fall $ z\in X' $ oder $ z\in Y' $ , also $ z\in X'\cup Y' $.
Da $ z\in X\cup Y $ beliebig war, folgt $ X\cup Y\subseteq X'\cup Y' $.


Hauptteil des Beweises:

Die Voraussetzungen $ X\subseteq X' $ und $ Y\subseteq Y' $ sind "für alle"-Aussagen. Punkt f) unter 4. Wie benutze ich...? rät uns, Elemente $ x\in X $ bzw. $ y\in Y $ zu finden, für die wir dann auf $ x\in X' $ bzw. $ y\in Y' $ schließen können. Noch haben wir keine solchen Elemente $ x $ und $ y $.

Für den Hauptteil haben wir aber als zusätzliche Voraussetzung $ z\in X\cup Y $. Das bedeutet $ z\in X $ oder $ z\in Y $. Punkt b) in 4. Wie benutze ich...? legt uns für solche "oder"-Aussagen eine Fallunterscheidung nach $ z\in X $ bzw. $ z\in Y $ nahe. Und genau eine Fallunterscheidung haben wir bei unseren Gedanken zum Beweisrahmen ja gesucht!

Nehmen wir als 1. Fall also mal $ z\in X $. Jetzt haben wir also endlich ein Element von $ X $ gefunden, auf das wir $ X\subseteq X' $ anwenden können: Wir können $ z\in X' $ folgern. Und genau da wollten wir hin!

Unser 2. Fall lautet $ z\in Y $. Jetzt haben wir also ein Element von $ Y $ gefunden, auf das wir $ Y\subseteq Y' $ anwenden können: Wir können $ z\in Y' $ folgern. Und genau da wollten wir hin!


Fertiger Beweis:

Zu zeigen ist, dass $ X\cup Y\subseteq X'\cup Y' $ gilt.
Sei also $ z\in X\cup Y $.
Zu zeigen ist, dass $ z\in X'\cup Y' $ gilt, d.h. dass $ z\in X' $ oder $ z\in Y' $ gilt.

$ z\in X\cup Y $ bedeutet, dass $ z\in X $ oder $ z\in Y $ gilt.
1. Fall: $ z\in X $. Wegen $ X\subseteq X' $ folgt dann $ z\in X' $C''
2. Fall: $ z\in Y $. Wegen $ Y\subseteq Y' $ folgt dann $ z\in Y' $C''

Somit gilt in jedem Fall $ z\in X' $ oder $ z\in Y' $ , also $ z\in X'\cup Y' $.
Da $ z\in X\cup Y $ beliebig war, folgt $ X\cup Y\subseteq X'\cup Y' $.

Erstellt: Fr 09.11.2012 von tobit09
Letzte Änderung: Sa 10.11.2012 um 15:07 von tobit09
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