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Körper
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Körper

Definition Körper

Der Begriff Körper bezeichnet mehrere Dinge

  • algebraischer Körper: Eine Menge mit Verknüpfungen zwischen den Elementen
  • geometrischer Körper: Ein von Flächen begrenztes Objekt


geometrischer Körper

Ein von (ebenen oder gekrümmten) Flächen begrenztes Objekt, das ein Volumen und eine Oberfläche hat.


Spezielle geometrische Körper

Kegel
Kugel
Polyeder: Ein Körper, der nur von ebenen Flächen begrenzt wird
Prisma: Ein Polyeder
Pyramide
Tetraeder: Ein Polyeder
Quader: Ein Polyeder
Würfel: Ein Polyeder
Zylinder


algebraischer Körper

Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen $ \oplus $ und $ \odot $ heißt Körper, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

I.)  $ (K,\oplus) $ ist eine abelsche (=kommutative) Gruppe.
Das neutrale Element sei mit "0" bezeichnet.

II.) $ (K\setminus\{0\},\odot) $ ist eine Gruppe.
Das neutrale Element sei mit "1" bezeichnet.

III.) Es gelten die Distributivgesetze: $ a\odot(b\oplus c)=a\odot b\oplus a\odot c $ und $ (a\oplus b)\odot c=a\odot c\oplus b\odot c $ für alle $ a,b,c\in K $.

Gilt zusätzlich für die Verknüpfung $ \odot $ das Kommutativgesetz, so heißt der Körper kommutativer Körper. Häufig wird aber auch unter einem  Körper ein kommutativen Körper verstanden, im Zweifel ist in der jeweiligen Quelle nachzuschlagen.
Nichtkommutative Körper heißen auch Schiefkörper oder Divisionsalgebren oder Divisionsbereich.


siehe auch für Schüler zum Nachlesen:
http://www.hausarbeiten.de/faecher/vorschau/109361.html
http://www.mathepedia.de/Ringe_und_Koerper.aspx


Eigenschaften spezieller Körper

;angeordneter Körper / geordneter Körper

Ein Körper K mit einer totalen Ordnung für den zusätzlich für alle $ x,y,z\in K $ die Bedingungen
IV.) $ x\le y $ $ \Rightarrow $ $ x\oplus z\le y\oplus z $ (Monotonie der Addition)
V.) $ x\le y $ und $ 0\le z $ $ \Rightarrow $ $ x\odot z\le y\odot z $ (Monotonie der Multiplikation)
gelten, heißt angeordneter Körper.
Quellen: (1)

;archimedisch angeordneter Körper
VI.) Ein angeordneter Körper K, bei dem die Folge der Vielfachen von 1 (="neutrales Element der Multiplikation") unbeschränkt ist, heißt archimedisch angeordneter Körper.

Quellen: (1)

;kommutativer Körper

;nullteilerfreier Körper




Beispiele.

Kommutative Körper: $ \IQ, \IR, \IC $ oder die endlichen Körper $ \IF_p= \IZ/p\IZ $ (p prim).


Quellen

(1) isbn3411032049



Erstellt: Sa 04.09.2004 von Marc
Letzte Änderung: Mo 29.09.2008 um 16:00 von informix
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