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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - 3 Gleichungen, 4 Unbekannte
3 Gleichungen, 4 Unbekannte < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Do 13.11.2014
Autor: Manu3911

Aufgabe
Ermitteln Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems für alle [mm] \lambda\in\IR: [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\ 2 & 3 & -3 & -2 & | 4 \\ -3 & -5 & 4 & 1 & | \lambda \end{pmatrix} [/mm]

Hallo,

ich komme bei dem folgenden Gleichungssystem nicht auf die Lösungsmenge.
Ich habe es soweit umgestellt:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\ 0 & -3 & -1 & -4 & | 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & | \lambda+6 \end{pmatrix} [/mm]

Anhand der dritten Zeile kann ich ja [mm] x_2 [/mm] bestimmen:
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -\bruch{\lambda+6}{2} [/mm]

Wie gehe ich jetzt weiter vor um rauszubekommen, ob das GLS keine oder unendlich viele Lösungen hat?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

Gruß Manu

PS: Wie macht man in einer GLS-Matrix einen senkrechten Strich, der über alle Zeilen hinweg geht? :p

        
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Do 13.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Manu3911,

> Ermitteln Sie die Lösungsmenge des folgenden
> Gleichungssystems für alle [mm]\lambda\in\IR:[/mm]
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\ 2 & 3 & -3 & -2 & | 4 \\ -3 & -5 & 4 & 1 & | \lambda \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich komme bei dem folgenden Gleichungssystem nicht auf die
> Lösungsmenge.
>  Ich habe es soweit umgestellt:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\ 0 & -3 & -1 & -4 & | 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & | \lambda+6 \end{pmatrix}[/mm]
>  


Das stimmt nicht.

Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.




> Anhand der dritten Zeile kann ich ja [mm]x_2[/mm] bestimmen:
>  [mm]x_2[/mm] = [mm]-\bruch{\lambda+6}{2}[/mm]
>  
> Wie gehe ich jetzt weiter vor um rauszubekommen, ob das GLS
> keine oder unendlich viele Lösungen hat?
>  
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
>  
> Gruß Manu
>  
> PS: Wie macht man in einer GLS-Matrix einen senkrechten
> Strich, der über alle Zeilen hinweg geht? :p


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Rechenschritte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Do 13.11.2014
Autor: Manu3911

Danke, hab nochmal nachgerechnet und bin jetzt bei:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\ 0 & -3 & -1 & -4 & | 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & | 2\lambda+12 \end{pmatrix} [/mm]

Jetzt weiß ich aber gerad überhaupt nicht mehr, wie bzw. wo ich weitermachen sollte?

Vielen Dank!

Gruß Manu

Bezug
                        
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Do 13.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke, hab nochmal nachgerechnet und bin jetzt bei:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\ 0 & -3 & -1 & -4 & | 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & | 2\lambda+12 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Jetzt weiß ich aber gerad überhaupt nicht mehr, wie bzw.
> wo ich weitermachen sollte?

Du kannst Dich

    []hieran (klick!)

orientieren!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Do 13.11.2014
Autor: Manu3911

Hallo,

also dem Link entnehme ich, dass das GLS unendlich viele Lösungen hat, da es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt. Aber wie berechne ich das bzw. wie gebe ich jetzt die Lösungsmenge an? Muss ich mit dem [mm] \lamda [/mm] noch was beachten?
Gruß Manu

Bezug
                                        
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Do 13.11.2014
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -3 & -2 & 4 \\ -3 & -5 & 4 & 1 & \lambda } [/mm]

bilde eine neue 2. Zeile:
2 mal Zeile 1 minus Zeile 2
bilde eine neue 3. Zeile:
3 mal Zeile 1 plus Zeile 3

[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 6+\lambda } [/mm]

eigentlich reicht dieser Schritt, du kannst aber erneut eine neue 3. Zeile bilden:
Zeile 3 minus Zeile 2

[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6+\lambda } [/mm]

jetzt untersuche

1. Fall: [mm] \lambda=-6 [/mm]

2. Fall: [mm] \lambda\not=-6 [/mm]

Steffi



Bezug
                                                
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Lösungsmenge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Do 13.11.2014
Autor: Manu3911

Vielen vielen Dank,

du hast mein Fehler aufgedeckt. Ich hab das GLS dreimal vereinfacht und immer eine Zahl falsch addiert... also für [mm] \lambda [/mm] = -6 erhalte ich 0=0, also gibts unendlich viele Lösungen.
Für [mm] \lambda \ne [/mm] -6 erhalte ich 0=iwas (wie schreibt man das mathematisch korrekt? 0 = v mit v [mm] \in \IR [/mm] und v [mm] \ne [/mm] 0?)
Wie schreibt man jetzt für beide Fälle die Lösungsmenge korrekt auf? Kann man jetzt parametrisieren, zb [mm] x_3=s, x_4=t [/mm] mit s,t [mm] \in \IR [/mm] und dann das in Gleichung zwei und eins einsetzen und nach [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] umstellen?

Gruß Manu

Bezug
                                                        
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:44 Fr 14.11.2014
Autor: meili

Hallo Manu,

> Vielen vielen Dank,
>  
> du hast mein Fehler aufgedeckt. Ich hab das GLS dreimal
> vereinfacht und immer eine Zahl falsch addiert... also für
> [mm]\lambda[/mm] = -6 erhalte ich 0=0, also gibts unendlich viele
> Lösungen.

[ok]

>  Für [mm]\lambda \ne[/mm] -6 erhalte ich 0=iwas (wie schreibt man
> das mathematisch korrekt? 0 = v mit v [mm]\in \IR[/mm] und v [mm]\ne[/mm]
> 0?)

[ok]
Ja, so kann man das schreiben.
Die Lösungsmenge für [mm] $\lambda \not=$ [/mm] -6: [mm] $\IL [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] (oder = {}).

>  Wie schreibt man jetzt für beide Fälle die Lösungsmenge
> korrekt auf? Kann man jetzt parametrisieren, zb [mm]x_3=s, x_4=t[/mm]
> mit s,t [mm]\in \IR[/mm] und dann das in Gleichung zwei und eins
> einsetzen und nach [mm]x_2[/mm] und [mm]x_1[/mm] umstellen?

Ja, so.

>  
> Gruß Manu

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Do 13.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Ermitteln Sie die Lösungsmenge des folgenden
> Gleichungssystems für alle [mm]\lambda\in\IR:[/mm]
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & | 2 \\ 2 & 3 & -3 & -2 & | 4 \\ -3 & -5 & 4 & 1 & | \lambda \end{pmatrix}[/mm]



> PS: Wie macht man in einer GLS-Matrix einen senkrechten
> Strich, der über alle Zeilen hinweg geht? :p



Hallo Manu,

dazu solltest du dich mal mit dem Thema "Tabellen
in LaTeX" beschäftigen. Falls Englisch für dich kein
Hindernis ist, z.B. da:  []LaTeX/Tables

Andernfalls findest du im Netz auch Quellen mit
deutschsprachigen Erläuterungen.

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
3 Gleichungen, 4 Unbekannte: array in TeX
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 Do 13.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo,

gerade habe ich noch im Wikipedia-Artikel über Lineare
Gleichungssysteme ein Beispiel gefunden, das exakt
auf deine Matrix passt und dessen LaTeX-Code ich
kopieren konnte. Ich habe ihn jetzt noch in ganz
übersichtliche Form gebracht.

Code:

1:       $\left(\begin{array}{c|c} 
2:                           A & b
3:              \end{array}\right)
4:  
5:      = \left(\begin{array}{cccc|c} 
6:                       a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ 
7:                       a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ 
8:                       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ 
9:                       a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m 
10:              \end{array}\right)$ 


Resultat:

    [mm] $\left(\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right) [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)$ [/mm]

LG ,  Al-Chw.

Bezug
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