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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Komplexe Matrix und Eigenwerte
Komplexe Matrix und Eigenwerte < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexe Matrix und Eigenwerte: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Mo 06.06.2016
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Für eine quadratische Matrix A [mm] \in \IC^{n \times n} [/mm] sind alle Eigenwerte von A*A reell und nicht-negativ.
A* meint hier die transponiert-konjugierte Matrix A.

Guten Abend!

Ich soll obige Aussage nachweisen. Bisher habe ich noch keinen Ansatz für meine Rechnung. Ich habe bisher schon zwei Rechnungen mit beispielhaften Matrizen durchgeführt, um mir alles zu veranschaulichen - der richtige Gedanke ist mir dabei jedoch noch nicht gekommen.
Wo sollte ich am Besten starten?
Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar!

Schönen Abend und Beste Grüße
mathe_thommy

        
Bezug
Komplexe Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 Mo 06.06.2016
Autor: Chris84


> Für eine quadratische Matrix A [mm]\in \IC^{n \times n}[/mm] sind
> alle Eigenwerte von A*A reell und nicht-negativ.
>  A* meint hier die transponiert-konjugierte Matrix A.
>  Guten Abend!

Huhu,

>  
> Ich soll obige Aussage nachweisen. Bisher habe ich noch
> keinen Ansatz für meine Rechnung. Ich habe bisher schon
> zwei Rechnungen mit beispielhaften Matrizen durchgeführt,
> um mir alles zu veranschaulichen - der richtige Gedanke ist
> mir dabei jedoch noch nicht gekommen.
>  Wo sollte ich am Besten starten?
>  Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar!
>  
> Schönen Abend und Beste Grüße
>  mathe_thommy

duerft ihr benutzen, dass wenn [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert zur Matrix $A$ ist, dass [mm] $\bar{\lambda}$ [/mm] (konjugiert komplex) Eigenwert zu $A$* ist!?

Wenn, ist das ziemlich einfach. Schreibe doch einfach mal hin

[mm] $A$*$Av=A$*$\lambda [/mm] v=....$,

wobei $v$ Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist.

Wenn nicht, laesst sich auch ziemlich einfach zeigen :)

Gruss,
Chris

Bezug
        
Bezug
Komplexe Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:07 Di 07.06.2016
Autor: fred97

Sei  [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{\star}A [/mm] und x ein zugeh. Eigenvektor, den wir als normiert annehmen können.

Dann:  

[mm] $\lambda= \lambda*||x||^2= \lambda(x|x)=( \lambda [/mm] x|x)=( [mm] A^{\star}Ax|x)=(Ax|Ax)=||Ax||^2$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Komplexe Matrix und Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Di 07.06.2016
Autor: mathe_thommy

Hallo Chris und Fred!

Vielen Dank für Eure beiden zeitnahen Antworten!

Ich habe noch eine Nachfrage an Fred: Wie erkenne ich an deiner Rechnung, dass die Matrix A nur reelle Einträge enthält? Dass sie nicht mehr negativ sind wird mir klar, die zweite Forderung jedoch nicht. An welcher Stelle ist das in deiner Rechnug ersichtlich?

Beste Grüße
Mathe_Thommy

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Di 07.06.2016
Autor: fred97


> Hallo Chris und Fred!
>  
> Vielen Dank für Eure beiden zeitnahen Antworten!
>  
> Ich habe noch eine Nachfrage an Fred: Wie erkenne ich an
> deiner Rechnung, dass die Matrix A nur reelle Einträge
> enthält?

Hä ? Wie kommst Du auf diese Frage ??? Es war doch $A [mm] \in \IC^{n \times n} [/mm] $ , also hat A Einträge aus [mm] \IC. [/mm]



> Dass sie nicht mehr negativ sind wird mir klar,
> die zweite Forderung jedoch nicht.

Was ist los ? ?

>  An welcher Stelle ist
> das in deiner Rechnug ersichtlich?

An keiner !

Die Aufgabe lautet: sei  $A [mm] \in \IC^{n \times n} [/mm] $ und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A*A. Zeige

   [mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] \lambda \ge [/mm] 0.

FRED

>  
> Beste Grüße
>  Mathe_Thommy


Bezug
                                
Bezug
Komplexe Matrix und Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Di 07.06.2016
Autor: mathe_thommy

Entschuldige bitte! Ich meine statt der "Einträge" die "Eigenwerte". An welcher Stelle erkenne ich, dass alle Eigenwerte nicht-negativ sind. Mir ist bisher nur klar, dass sie alle reell sind.

Beste Grüße
mathe_thommy

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Matrix und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Di 07.06.2016
Autor: fred97


> Entschuldige bitte! Ich meine statt der "Einträge" die
> "Eigenwerte". An welcher Stelle erkenne ich, dass alle
> Eigenwerte nicht-negativ sind. Mir ist bisher nur klar,
> dass sie alle reell sind.

  

$ [mm] \lambda= \lambda\cdot{}||x||^2= \lambda(x|x)=( \lambda [/mm] x|x)=( [mm] A^{\star}Ax|x)=(Ax|Ax)=||Ax||^2 \ge [/mm] 0 $

FRED


>  
> Beste Grüße
>  mathe_thommy


Bezug
                                                
Bezug
Komplexe Matrix und Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 So 12.06.2016
Autor: mathe_thommy

Ich habe jetzt noch einmal nachgeschlagen und so auch deinen Weg verstanden, Fred.
Besten Dank!

Bezug
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